本章小结教学实录及点评

课题名称

教师姓名

立体几何中的最值问题

李丰刚

学生年级

高三

课时

1 本节课是在学习完立体几何所有内容后．一节专题训练课。通过本节课使学生掌握有关图形的操作方法，增强对几何体理解和空间立体感。从知识体系上看，它是空间几何体中点、线、面关系的延续与提高。从数学思想方法的层面上看，它运用运动的观点揭示了与空间图形有关的线段、教学内容分析

角等相关量的变化过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、函数、转化等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。因此，解决此类问题不仅需要空间想象能力和准确的计算能力，还需要灵活应用数学思想，更需要科学的探究方法和严谨的治学态度。本节课将多角度探求立体几何中的几个常见最值问题。

高三年级学生已掌握了立体几何、函数、三角函数等有关知识，具备了一定的研究立体几何问题的能力；基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。本节课安排在立体几何学习的末期，正是进一步培养学生形成空间观念，提高学生逻辑思维能力和相关知识点学生分析

综合运用能力的最佳时机。因此，在教学中，一方面通过电教手段，把本节课内容制成了课件，既节省时间，又增加其直观性和趣味性，起到事半功倍的作用；另一方面，在教学中并没有采取把全部解题过程给学生的做法，而是通过具体问题的分析与处理，逐步展现给学生，让学生体会发生、发展的过程及其规律，从而提高学生分析和解决实际问题的能力。

①掌握立体几何中有关角、距离、体积最值的求法。

知识与技能

②理解其他知识点与立体几何相结合题目的解题策略。

①学生通过自主学习、合作交流等方法体验数学活动中的探索与创造。

过程与方法

②使学生掌握数形结合、函数、转化等思想方法的应用，提高思维品质，发展应用意识。

情感态度与

价值观

教学目标

①感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。

②培养独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

教学重点

教学难点

立体几何中有关角、距离、体积最值的求法

如何应用数形结合、函数、转化等思想方法

新课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识教学策略的选择与设计

的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力。因此，本节课始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，以教师的引导为主导，体现“先导后教”、进而“无为而教”的教学思想；以学生的学习为主体，体现“先做后学”、进而“自主

学习”的学习思想。使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者，引导学生学会学数学、想数学、用数学。

教学环境及

资源准备

教学过程

多媒体教室 自制教学课件

教师活动

学生活动

设计意图

情境导入，

激发兴趣

自主探究，

解决问题

教师：在实际生活中，大家会看到很多几何体，如长方体，三棱锥等。在黑板上画出几个图形，并标出长度，角度等条件，然后，指出如果某个量发生改变会带来什么后果？

一、角的最值

例1：如图PA⊥平面ABC，AD⊥BC,垂足D在BC的延长线上，且BC=CD=DA=1。求：∠BPC的最大值

通过动画演示，使学生理解角的变化过程。提出问题1：哪几个量影响∠BPC的大小？

解：设PD=x,∠BPC =

∵PA⊥平面ABC， AD⊥BC∴PD⊥BC ，即：∠PDB是直角，

提出问题2：如何用关系式把∠BPC某个三角函数值表示出来？

在Rt⊿PDB和 Rt⊿PDC中，tan∠BPD=2/x,tan∠CPD=1/x, tan=tan∠BPC=tan(∠2通过举出与立体让学生联想平时遇到的几何体，感受各种几何有关的生活实量之间的关系，积极例，加深学生的感性思考。

认识.

在这个过程中，可以提问几名学生，回答这个问题。

本题是一道综合题，先运用立体几何的知识找出∠PDB为直角，以及所求角变化的过程，再用函数思想求出最值。学生最难想到的是第二部分内容，通过FLASH动画的演示，使学生有了直观的认识，明白了用哪些量可以表示角，自然想到了运用函数表达式。

让学生先独立思考，然后自由讨论，找几名学生到黑板上尝试一下。

x= BPD-∠CPD)=x211xx1xx22(x>1)

提出问题3：如何求最小值？

让学生举手发表自己

见解。

112

=≦=

2422

x

x

当且仅当PD=2时，∠BPC最大为arctan2

4二、体积的最值

例2：若三棱锥中，其余棱长都是1，则它的体积的最大值

教师提醒学生哪些线段长是固定的，哪个是变化的。提出问题1：三棱锥的高是逐渐增大还是减小？如果第一次动画没看清楚，可以再放一遍。

当学生回答正确后，提出问题2：当O,E重合后，高如何变化？

提出问题3：求出体积最大值。

三、距离最值

例3：长方体ABCD-A’

B’

C’

D’长宽高分别为5,3,4，现有一小蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点 C’来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值。

课件下方已经给出提示，教师可以根据实际情况，把学生分成3组，按照不同的路线找出最短路程。教师在学生中间来回巡视，不能干预各小组的讨论过程，鼓励学生积极讨论，想出解决问题的办法。

经过一段时间后，每一组找一名代表，说出结论，同时教师用课件中动画，演示变化过程。

求体积问题往往联想到复杂的计算，本题先让学生思考一下，找出几名答案不同的给学生的感觉也是如学生说出各自的理此，通常会想到把体由。播放动画后，得积用AP长表示出来，出正确答案。

再求解。通过FLASH

动画的演示，把高的变化过程完整的展示出来。让学生换个角度看问题，直接从几何体中找出最值的位置，突破了数形结合这个难点。

表面上看本题是一道求线段长度问题，学生更多关注的是用哪个三角形求线段长。实际上，需要学生把空间问题转化为平面问题：两点间最短距离。以前靠老师讲，学生无法形成深刻的印象。有了FLASH动画的演示，完美的把这一过程展现出来，使学生初步形成转化的思想。

提醒学生注意动画过程，让学生一起说出答案。

分好小组后，学生充分讨论，想办法。如果时间允许，可以让学生自己用纸做出长方体，模拟这个过程。

综合实践，

提高能力

练习1：正三棱锥V-ABC的

底面边长为a，侧棱与底面

所成的角为，过底面一边

结合例题的解题过程，加深对解题方法

做此三棱锥的截面，当截面与底面所成的角为何值时，截面面积最小？

教师让学生回忆例1的解题过程，提出问题1：截面面积大小与哪几个量有关？

教师演示动画，让学生得出结论。

练习2：在正三棱锥S-ABC中，∠ASB=400,M,N分别是SB、SC上一点，若SA=3cm，则AM+MN+NA的最小值为____ 0练习3：已知：120的二面角

的理解，突破难点。

-AB-，直线AC,BD在平面,内，且AC⊥AB，BD课堂小结，

回顾方法

⊥AB,AC=1,AB=2,BD=3,在二面角的棱上找一点P，使PC+PD的值最小，则最小值为______ 以上两个练习，教师先让学生独立思考，然后演示动画，给出答案。

思想方法总结

数学思想：

1 化归与转化的思想

2 数形结合的思想

3 函数的思想

学生自由讨论几分钟

规律方法：

后，找几名学生回答。

1 抓住不变量，研究变量

2 建立函数关系，求最值

3 表面两点间的最短路程问题——展开

先找几名学生说出答案，接着播放动画。动画演示结束后，得出结论

学生不能进行讨论，自己独立思考，举手回答老师问题。

有助于学生发展的评价语言应该是辩证的，不但要有激励性评价语言，还要有指正性，否定性语言；既给学生成功的激励，同时也要培养学生战胜挫折、困难的勇气和毅力。如当引导学生探索问题时，学生思考的思路有时会偏离教学的轴心，学生的回答虽然是正确的，但不是教学所要求的，教学评价设计

答非所问，对这样的回答，既不能不置可否，含糊不清，也不能大加赞赏，否则学生会一味顺着这条思路进行思考，反而进入误区。教师应该给出指正性评价，在给予表扬的同时，又要适当地指出问题所在，这样既不打击学生的积极性，又能培养学生正确的思维方法。

教学反思

信息技术与学科教学整合课在探索课程整合的途径、方法，提高教师的信息能力和素养方面起着重要作用。基础的东西还是要把握学科课堂教学特点，理解学科教学的功能，根据课程目标、学科属性、学生需求，在产生需要后再选择手段，哪个是最必要的，效果是最好的，应用到什么程度。不能指望现代媒体可以代替一切，很多生动的东西以及教师与学生的情感交流，是任何东西都替代不了的。关注学生的权利，给学生提供更多的机会，课程整合才有新的生长点。本节课把信息技术作为促进学生自主学习求知工具和情感激励工具，利用信息技术所提供的自主探索、合作学习、资源共享等学习环境，把学生的主动性、积极性充分调动起来，通过自主研究完成本节课的内容。在以后的教学中，我将积极探索，勇敢尝试，使数学教学与信息技术有效整合，调动学生的积极性，改变传统的教学模式，提高教与学的效率。