2.3.1 圆的标准方程教学设计和教学实录

《圆的标准方程》教学设计

授课教师：

周

凡

一、教学内容分析

1．教学内容

本节是普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2(A版)第四章圆与方程中4.1圆的方程第一课时.本节主要研究圆的标准方程，判定点与圆的位置关系. 2．地位作用

圆是最常见的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学***圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习作好准备，起承上启下的作用.圆的方程的推导体现了通过坐标法由形到数的思维过程，用方程这种代数方法来研究几何性质的解析几何思想. 圆的方程的推导方法也是曲线方程的基本方法，为后续研究其他曲线提供基本思想.应在教学中加强练习，使学生牢固掌握本单元的知识和方法，培养数形结合与转化的思想. 二、教学目标

1. 掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆心的坐标和半径；能根据不同条件求出圆的标准方程. 2. 会判断点与圆的位置关系. 三、教学重点与难点

重点：圆的标准方程及运用

难点：求圆的标准方程的条件的确定.

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四、教学过程

活动一：创设情景

引入课题

以重庆游乐园的摩天轮关停为背景，想象坐上摩天轮的情景.观察圆上点在运动时，不变的是什么，引出圆的定义. 1. 圆的定义：_____________________________________________________ 要确定一个圆，则要先定圆的__________和___________ 【设计意图】回顾圆的定义，明确其要素，为接下来推导圆的标准方程做准备.

活动二：提出问题

推导方程

第一步：前面学习的直线是几何图形，用二元一次方程这种代数形式研究了它的性质，圆也是几何图形，又该如何用代数的方法来研究它呢？（最基本的方法就是坐标法）

第二步：在给定的圆中，圆心C是定点，半径是定长，记为r(r0)，圆上任一点M到圆心的距离MC与半径有什么等量关系呢？

（MCr）

第三步：这个等量关系式又如何用坐标来表示呢？ 圆心C记为(a,b)，半径记为r，圆上任一点M设为(x,y) 第四步：利用两点间的距离公式，将等式MCr表示为(xa)2(yb)2r，圆上任一点M(x,y)都满足这个方程，这个方程就是以(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程. 第五步：两边平方得(xa)2(yb)2r2.由于这个式子整齐对称，容易看出圆心和半径，所以我们称之为以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.

2. 圆的标准方程：____________________________________________________ 2

解读圆的标准方程：

（1）这个方程是圆上所有点M(x,y)所满足的关系式. （2）关于x,y的二元二次方程. （3）含有a,b,r三个参数. （4）方程左边的平方之间是加号，两个括号内都是减号，右边是半径的平方. （5）特别地，圆心在原点的标准方程x2y2r2.

【设计意图】通过对方程形式及结构的解读，让学生更深层次的理解方程，便于学生熟练运用.

3. 点与圆的位置关系

（1）点P在圆上  （2）点P1在圆外  （3）点P2在圆内  【设计意图】引导学生会判断点与圆的位置关系，特别是点在圆上，为后面用待定系数法求圆的标准方程做好准备. 活动三：掌握方程

明确要素

练习1.请根据圆的标准方程，说出圆心和半径 （1）（x3)2(y2)25 （2）x2y21 （3）x2(y2)2(3)2 （4）(x2)2y2m2(m0) 【设计意图】由圆的标准方程能熟练找出圆心和半径两个核心要素，并且熟悉方程的结构形式 . 3

练习2.请根据下列条件，写出圆的标准方程 （1）圆心在原点，半径为3. （2）圆心在点C(-3,2)，半径为5. （3）圆心在点C(2,0)，且与y轴相切 【设计意图】通过此练习可以强化学生对圆的标准方程的理解，明确圆心和半径是确定圆的标准方程的两个不可缺少的要素.

活动四：深入挖掘

找出方法

例1.求圆心在C(3,2)，且经过点A(1,1)的圆的标准方程.

变式：

已知圆C在两直线l1:xy10与l2:x3y30的交点处，求经过点A(1,1)圆C的标准方程.

【设计意图】通过例题和变式可以强化学生对圆的标准方程的理解，明确圆心和半径是确定圆的标准方程的两个不可缺少的要素.

例2：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心C在直线l:xy10上，求圆心为C的圆的标准方程.

【设计意图】练习设计循序渐进，让学生不断挑战自我，找到解答方法，在学习中体验成功的喜悦.通过待定系数法何几何法求圆的标准方程让学生从不同的角度寻找圆心和半径两个圆的要素，培养学生数形结合的数学思想. 4

4.求圆的方程的方法

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活动五：变式训练

能力提升

思考：ΔABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1),B(2,2),C(3,7),求它的外接圆的方程.

【设计意图】让学生运用前面所讲方法求圆的标准方程，提升学生应用能力. 活动六：课堂总结

归纳梳理

一定义

一方程

一关系

二方法

【设计意图】总结本堂课所学知识、方法及思想.

梳理利用坐标法从形到数的思维过程，用方程这种代数方法来研究几何性质的解析几何思想. . 五、板书设计

一、圆的定义

二、圆的标准方程

三、点与圆的位置关系

四、求圆的标准方程的方法

圆的标准方程

例题

解法

分析

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