复习参考题优质课教案

标题：专题——离散型随机变量及其分布列

学科：高中数学

参评类型：教学设计

单位：黄石二中

姓名：李杰

详细地址：湖北省黄石市黄石二中高三数学组

联系电话：13597718783

专题——离散型随机变量及其分布列

一、构建知识体系

1.主干知识

(1)随机变量

(2)离散型随机变量

(3)离散型随机变量的分布列，性质

(4)离散型随机变量的期望，方差，性质

2.常见类型

(1)两点分布

(2)超几何分布

(3)二项分布：期望，方差公式

3.方法步骤

(1)“判断取值”

(2)“探求概率”

(3)“写分布列”

(4)“求期望值”。

二、误区失分警示

1.关键：理解题意，弄清随机变量所有取值及对应哪些具体事件

2.基础：用恰当的概型求概率

3.核心：准确计算

4.保障：规范答题（过程步骤严谨，书写详略得当，有效得分）

三、多维例题解析

角度一

超几何分布与数学期望的求解

例1：在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．

[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

C45则P(M)＝C58＝18

10(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4，则

C51P(X＝0)＝C56＝42，

101C456C4P(X＝1)＝C5＝21，

1032C6C410P(X＝2)＝C，

5＝21103C256C4P(X＝3)＝C5＝21，

1014C6C41P(X＝4)＝C.

5＝4210

因此X的分布列为

X P 0

1

421

5

212

10

213

5

214 1

42

4×551051故X的数学期望E(X)＝0＋1×21＋2×21＋3×21＋4×42＝2或EX＝＝2

10[类题通法] 1．离散型随机变量分布列的求解步骤

2．超几何分布的概率与期望的求法

对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率、期望可直接nkCkMCN－M利用公式P(X＝k)＝Cn(k＝0,1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，E(X)N－＝Mn求解．

N

角度二

二项分布与数学期望的求解

例2：(2018·惠州第二次调研)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p＝3，记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn. (1)求S6＝20且Si≥0(i＝1,2,3)的概率；

(2)记ξ＝|S5|，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

[解] (1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．

由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；

若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．

2211622222212＋2×1×2×C3则所求的概率P＝×C××433333333＝81.

(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，

又p＝3，

323424525112＋C222×13＝40，11＋C121×14＝30，∴P(ξ＝10)＝C5×P(ξ＝30)＝C×P(ξ＝50)＝C55553×3333381333381022201511＋C0，

53×3＝81ξ

10

30

50 ∴ξ的分布列为

P 40

8130

8111

81

∴数学期望E(ξ)＝10×81＋30×81＋50×81＝81. [类题通法] 与二项分布有关的期望、方差的求法

(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．

角度三

相互独立事件的概率及其分布列、期望

例3：(2019届高三·益阳、湘潭调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为3，4，5，他们出线与未出线是相互独立的．

(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

[解] (1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，

则P(D)＝1－P(A

BC)＝1－3×4×5＝30.

(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

则P(ξ＝0)＝P(A

BC)＝3×4×5＝30，

21213211313P(ξ＝1)＝P(A

BC)＋P(A

BC)＋P(AB

C)＝××＋××＋××＝，

345345345602322131339P(ξ＝2)＝P(A

B

C)＋P(A

B

C)＋P(ABC)＝××＋××＋××＝，

345345345202333P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. 345101121112292334030111 850所以ξ的分布列为

ξ

P 0

1

301

13

602

9

203 3

10

11393121E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

3060201060[类题通法] 解相互独立事件概率问题的策略

(1)会分拆事件，即先把事件分拆成若干个互斥事件，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件；

(2)会用公式，若事件A，B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，若事件A，B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

四、热点题型突破

例1【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0‹p‹1),且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E（X）; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为

.因此

′

令

′

，得

.当

时，

′

；当

时，

′

所以 的最大值点为

(2)由(1)知，p＝0.1．

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数．

依题意知Y～B(180,0.1)，

X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．

所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490．

②如果对余下的所有产品作检验，那么这一箱产品所需要的检验费用为400元．

由于E(X)>400，因此应该对这箱余下的所有产品作检验。

例2【2107全国3卷理科18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订温位于区间20，购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

天数

20

20，2525，30[10,15）

15，3530，4035，

2 16

36

25

7

4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y

的数学期望达到最大值？

解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，

由表格数据知

2＋1636P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，

909025＋7＋4P(X＝500)＝＝0.4. 90因此X的分布列为：

X P

200

300

500 0.2

0.4

0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 当200≤n<300时，

若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元. 五．对点规范演练

1.某高校通过自主招生方式在黄石招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问2题中,学生甲能正确回答其中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为3 ,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的. (1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率; (2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.

2.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这

1批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，2且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

3.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分111别为，，．

234(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

六．方法总结升华

高考中常从以下角度命题：

(1)以能力立意，解决实际问题（利润）

(2)已知某个离散型随机变量的分布，求线性关系的另一离散型随机变量的分布。

(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出决策。