小结板书设计

正态分布教学设计

四川省崇州市崇庆中学

赵世松

一、考情分析：

考纲考情

核心素1.理解正态分布的均值、方差的概念．

2．能计算简单正态分布的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．

3．了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用. 考查角度

素养形成

数学抽象

逻辑推理

数学建模

数学运算

直观想象

数据分析

养

素养形成

☆

☆

主要通过正态分布的均值与方差、正态分布考查数据分析与数学运算能力. 二、主干知识梳理：正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴

，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线

对称；

③曲线在

处达到峰值1；

σ2π④曲线与x轴之间的面积为

；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越

．

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ

；

②P(μ－2σ

；

③P(μ－3σ

. 三、小题诊断，深度剖析：

1.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从态曲线如图所示，则下列说法错误的是(

) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg，且甲类水果的22正态分布N(μ1，σ1)，N(μ2，σ2)，其正

质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故A，B，C正确；由题图可得，故D不正确．故选D. 答案：D 1＝1.99，故σ2≠1.99，2πσ22．(2019·孝义模拟)一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是(

) A．0.2

C．0.4 B．0.3 D．0.5 21C2C12＋C32C3解析：摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－(3×＋1×2)＝0.2. C2C55答案：A 3．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝(

) A．3 18C.

57B.

2D．4 123C1A213C2A2＋A32解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ＝2)＝2＝，P(ξ＝3)＝＝A510A35

13113C2CA＋C3613673233C2A3，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，故选B. 10A41010101025答案：B 4．体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(

) 7A．(0，) 121C．(0，) 27B．(，1) 121D．(，1) 2解析：根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P(X＝1)＝p，发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P(X＝2)＝p(1－p)，

发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故P(X＝3)＝(1－p)2，

则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，

51依题意有E(X)＞1.75，则p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，

2211结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈(0，)，故选C. 22答案：C 5.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(

) 则落入阴影部分(曲线C为正态分布

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．906 C．2 718 B．1 359 D．3 413 0.954 4－0.682 6＝0.135 9，则落入阴影部2解析：由正态分布的性质可得，题图中阴影部分的面积S＝分的点的个数的估计值为10 000×答案：B 0.135 9＝1 359. 16．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(

) A．0.7 C．0.4 B．0.6 D．0.3 解析：由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6. 又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，

46664所以C410p(1－p)＜C10p(1－p)，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B. 答案：B

四、创新考点，素养形成：

(2019·海口调研)某知识问答活动中，题库系统中有60%的题目属于A类型问题，40%的题目属于B类型问题，假设题库中的题目总数非常大．现需要抽取3道题目作为比赛用题，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取3道题目，方法二是先在题库中按照分层抽样的方法抽取10道题目作为样本，再从这10道题目中任意抽取3道题目．

(1)两种方法抽取的3道题目中，恰好有1道A类型问题和2道B类型问题的概率是否相同？若相同，说明理由即可，若不同，分别计算出两种抽取方法的概率．

(2)已知抽取的3道题目中恰好有1道A类型问题和2道B类型问题，现以抢答题的形式由甲、乙两人进行比赛，采取三局两胜制．甲擅长A类型问题，乙擅长B类型问题．根据以往的比赛数据表明，若出A32类型问题，甲胜过乙的概率为4，若出B类型问题，乙胜过甲的概率为3，设甲胜过乙的题目数为X，求X的分布列和数学期望，并指出甲胜过乙的概率．

解析：(1)两种抽取方法的概率不同．

3对于方法一，由于题库中题目总数非常大，可以认为每抽取一道题，抽到A类型问题的概率均为5，抽23221到B类型问题的概率均为5，所以抽取3道题目恰好有1道A类型问题和2道B类型问题的概率为C3×5×(5)36＝125. 对于方法二，按照分层抽样抽取的10道题目中有6道A类型问题和4道B类型问题，从中再抽取3

2C136C4道题目恰好有1道A类型问题和2道B类型问题的概率为C3＝10. 10(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3. 12213221121214P(X＝0)＝4×3×3＝9，P(X＝1)＝4×3×3＋4×3×3＋4×3×3＝9，

31232111113P(X＝2)＝4×3×3＋4×3×3＋4×3×3＝36，

3111P(X＝3)＝4×3×3＝12. 所以X的分布列为

X P 0

19

1

49

2

1336

3 112

1413117X的数学期望E(X)＝0×9＋1×9＋2×36＋3×12＝12. 1314甲胜过乙的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝36＋12＝9.

五、课后作业：

1．(2019·甘肃民乐一中模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________.

2．按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为________．

3．(2017·高考全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 4．(2018·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型

电影部数

好评率

第一类

140

0.4

第二类

50

0.2

第三类

300

0.15

第四类

200

0.25

第五类

800

0.2

第六类

510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．