探究与发现 组合数的两个性质教学设计范文

组合数的性质

教学目标：

1.

通过实例分析，得到组合数的两个性质，能简单证明两个性质。

2.

掌握组合数的两个性质；

3.

熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题

4.

通过两个性质的发现体会进一步体会由特殊到一般的研究问题的方法。

教学重点：

组合数的两个性质的应用

教学过程

一、复习引入：

1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从m．用符号表示．

Cn

个不同元素中取出m个元素的组合数n．．．3．组合数公式的推导：

m（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：①

先求从mmn个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；②

求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据mmm分步计数原理得：An＝Cn．

Am（2）组合数的公式：

n!Anmn(n1)(n2)(nm1)m或Cn(n,mN,且mn)Cmm!(nm)!Amm!mn[来源: ][来源:学科网ZXXK]

二、讲解新课：

引例一：一个口袋内装有大小相同的8个球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出5个球，共有多少种取法？

⑶

从口袋内取出2个球，共有多少种取法？

（4）从口袋内取出6个球，共有多少种取法？

1

组合数的性质1：CnCnmnm．

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个．．．．不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合数，即：

mnm．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

CnCnnm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!m又

Cnmnmn!，∴CnCn

m!(nm)!0说明：①规定：Cn1；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

x③CnCnyxy或xyn．

引例二：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

mmm12．组合数的性质2：Cn．

1＝Cn+Cnm一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1这nm1个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,,an1这mn个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

n!n!mm1证明：Cn

n!(nm1)n!m Cnm!(nm)!(m1)![n(m1)]!m!(nm1)!m(n1)! (nm1m)n!Cn1

m!(nm1)!m!(nm1)!mmm1∴Cn．

1＝Cn+Cn三、典例分析

例1．例1：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。

(1)一共有多少种不同的抽法?

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?

(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？

例2．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.

（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ [来源: ]

（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

3456例3.计算：C7；

C7C8C9

课堂练习：

课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质