1.不等式的基本性质优秀完整教案

课 题

不等式的基本性质

知识目标 理解不等式的性质；掌握利用不等式的性质比较两个数大小的方法；能应用不等式的性质解决问题。

能力目标 通过对不等式性质的回顾与整理，发掘知识的内在联系，培养学生的归纳、综合能力，体会数学思想。

情感目标 通过对知识的整理和应用，引导学生形成独立思考，合作交流的良好品质。

重

点

对不等式的性质的理解及应用。 难

点

不等式的性质中的单向性和双向性的辨析。

课

型

新授课

教 具

多媒体辅助教学

过

程

一、知识回顾： 不等关系是客观事物的基本数量关系，不等式是描述现实世界中事物不等关系的一种工具，是刻画优化问题的一种数学模型。

1、《不等式》知识网络：

不

等

式的

均值不等 不等式的证不等式的应实数

的等

运 算性

质不

大小顺序的关系比较两实数大2、实数的运算性质与大小顺序之间的关系：

a–b＞0a＞b

不等式的解

a–b＝0a＝b a–b＜0a＜b

3、不等式的性质： 定理1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，则a＞b.

定理2 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；

还可以表示为：如果c＜b, 且b＜a, 那么c＜a.

定理3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 推论 如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d. 定理4 如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；

如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc. 推论1 如果a＞b＞0，且c＞d＞0，那么ac＞bd. 推论2 如果a＞b＞0，那么an＞bn（nN，且n＞1）.

定理5 如果a＞b＞0，那么na＞nb（nN，且n＞1）. 说明：（1）不等式性质是贯穿本章内容的一条主线，是证明不等式和解不等式的主要依据。要理解每一条性质的作用；

（2）注意性质中的“可逆”与“不可逆”，运用时注意条件的放宽和加强对结论的影响；

（3）可以结合函数观点理解不等式的性质；

（4）注意对不等式与等式的性质进行类比。

二、学生活动：

适当增加条件，使下列各命题成立： 这是一道开放性习题，

（1）若

a＞b， ，则ac≤bc； 考察学生对性质的理

（2）若a＞b， ，则

11＜； 解和运用。

ab（3）若nN

，a＞b， ，则an

＞

bn.

三、合作探讨： 题1、已知a＞0，b＞0，（ab），比较aabb与abba的大小。

比较不同的方法；

结 论：aabb＞abba 体会分类、化归、函

方 法：作商比较，作差比较。 数等数学思想。 小 结：比较两个实数或两个代数式大小的一般方法： 比较大小的依据是

作差比较法：要证a＞b, 只须证

ab＞0。 “实数的运算性质与

作商比较法：要证a＞b，b＞0,只须证

关系。

步 骤：作差 作商

题2、（1）已知–1 ≤x≤１，１≤y≤３，求x + y，３x–y和 –２x＋４y的范围； （2）已知

０≤ x + y ≤４，–６≤３x–y ≤２，求–２x

＋４y的范围． （1）解：由题意，得０≤x + y≤４，–６≤３x–y≤２， 错误的原因是：性质

变形 变形 判断差式的正负，

判断商式与1的大小。

a＞1。 大小顺序的等价b２≤–２x＋４y ≤１４. 定理3的推论是单向 （2）错解：由０≤ x + y ≤４，–６≤３x–y ≤２ ① 不可逆的，在运用时

解得 3931≤x≤，≤y≤ ② 认识不清。由②推出

2222 从而 –5 ≤–２x＋４y ≤ 21. ③ ③时扩大了代数式

正解1：（待定系数法）设2x +４y = m (x +y) +n (3 x–y )

–２x＋４y的取值范

围。

则 m + 3n =–2 解得 m = 52 m–n = 4 n = –32 ∴ 2x +４y = 52 (x +y) –32(3 x–y ) ∵０≤x + y≤４，–６≤３x–y ≤２， ∴ -3 ≤–２x＋４y

≤１９

解2：（换元法）设 m = x + y， n =3 x–y 则 x =114(m+ n）， y =4(3m－n） ∴–２x＋４y = 52m–32n ∵０≤m≤４，–６≤n ≤２，

∴

-3 ≤–２x＋４y

≤１９

解３：（利用线性规划） 时也将前后知识联系起来，有

利于学生形成知识网络。

（2）线性规划的应用， 深刻体现了函数方程思想及数形结合有利于本节课教学难点的突破，同

四、反思小结: （1）不等式的性质是证明不等式的基础,也是学习不等式的基石；

（2）对于不等式性质,关键要弄清每一条性质的条件,注意条件的

放宽和加强对结论的影响；

（3）体会数学思想及利用不等式刻画优化问题的方法。

五、布置作业：

1、细读课本，熟悉不等式性质的证明过程。 2、练习：

（1）若a、b、cR*，比较a2ab2bc2c与abcbcacab的大小。

若a、b、cR，比较abc与abc*abcabc3的大小。 （2）已知f(x)ax2c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，

求f(3).

六、板书设计：

性质 __________ 例1 _____________ 例2 ___________ ________________ _________________ ________________ ______ _________________ ________________ ______ _________________ ________________ ________________ _________________ ________________

七、课后反思：

教学设计说明

1、设计理念：

新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。

2、教材的地位：不等式与数、式、方程、函数等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用。而不等式的性质，则是这一章的基础，不等式的证明、不等式的解法都是以它为依据。学数学的目的在于用数学，复习时，除了让学生理解不等式的性质外，更重要的是如何利用性质解决问题，领悟函数与方程，数形结合，分类，等价转换等数学思想。

3、教学策略：

教学方法：采用“教师设计问题引导”和“学生积极主动探究”相结合的方式进行 互动式教学，突出学生的主体性，给学生足够的思考时间和思维空间。

学法指导：（1）指导学生建立知识网络，培养归纳、综合能力；

（2）倡导探究，合作，交流的学习方式；

（3）领悟数学思想（函数方程思想，数形结合思想，等价转换思想，分类思想）。

教学手段：利用多媒体辅助教学。

4、教学过程的设计：

（1）知识回忆的过程本着“回忆并提高”的宗旨，主要由学生完成，形成知识网络，从而对不等式诸多性质有全局观，体现学生的主体性；

（2）例题的选择本着“少而精”的原则，突出代表性。“学生活动题”重点考察学生对不等式性质的理解，由于答案的不唯一，给学生更多的思维空间；“合作探讨”着重考察不等式性质的应用：题1是比较两个代数式的大小，在作业中又对其作了适当延伸，体现例题的功能，也促使学生反思课堂内容。题2是针对定理中不具有充要性特征的性质，在应用中常见的错误进行分析探讨，与线性规划联系起来，对于知识网络的构建有着积极的作用。

5、教学流程：

教师活动

学生活动

引导学生发现，深化

本节课小结

判断、纠错、鼓积极参与例题的讨口答基本训练题

组织、引导

构建本节课知识网