1.2 活动 思考课时教案

《几何模型之角平分线的基本模型》教案

淮安市文通中学 朱永桃

【教学设计意图】

数学题目是无数的，永远做不完，题海永远无边无际，但是初中数学的基本知识是有限的，所对应的题型也是有限的，解决每一种题型的方法也是有限的，作为老师，我应该抓住有限的东西却解决无限的东西。我们要对题型按照某一个标准进行归类，形成一类题目的数学模型，再施教，用一题的解法辐射一类题目，让学生会一题得一类！即“学一题、得一模型、解一类”的高度，这样学生才不用盲目的战题海，才能想学、爱学、轻松学、快乐学，轻松的学会、学好，学活。

【学情分析】

在生活经验上，随着人类使用数字，就不断的建立数学模型，以解决各种各样的实际问题，学生从生活中已经有了数学模型初步感受；在文化学习上，学生已经学了认识三角形、多边形、一元一次方程、二元一次方程，为本节课作了很好的准备和铺垫！

【教学目标】

知识与技能：

1.掌握角平分线的基本模型，并能灵活的应用

2.能从复杂的图形中，识别并分解出角平分线的基本模型，并解决问题

3.能够快速解决有关角平分线基本模型的压轴题

过程与方法：由简单到复杂，层层推进，将数学核心思想方法完美的渗透在数学模型之中，将知识、能力、方法等以问题的形式呈现给学生，以学生为主体，激发学生的思考、发现、总结归纳。

情感与价值：师生互动，生生互动，生动活泼的课堂，体现了“以人为本”的教育理念，注重数学核心素养、和高思维能力的培养，促进学生的全面发展.

【教学重难点】

教学重点：从复杂的图形和文字信息中，识别角平分线的基本模型

教学难点：通过分析有关角平分线压轴题题目的条件和结论，找到模型，准确套用模型，并能快速解决问题

【教学过程】 一、情景引入，

二、目标展示

三、模型探究

模型1：

2内模型

教

学

内

容

学

生

活

动

欣赏生活数学模型的

图片

教

师

活

动

在日常生活中，处处存在数学模型，请你欣赏

巡视全班，观察听课状态

引领学生谈题中条件和解题方法

设

计

意

图

为了让“数学模型”更融洽自然易懂，我设置学生常见的模型，在生产活动、科学实验、日常的生活中都常需要数学模型，数学来源于生活，又服务于生活

让学生带着目标进入课堂，知己知彼，才能百战不殆

学生已经学过三角形的角平分线，根据其位置的摆放可分3类

1.掌握角平分线的基本模型

2.能从复杂的图形中，识别并分解出角平分线的基本模型

3.能够快速解决有关角平分线模型的压轴题

三、模型的探究

模型1：两内模型

一个学生读课标，其他人认真听

学生自由发挥，畅谈由条件得到自己的解题方法

1.如图①在△ABC中，AE平分∠BAC、CE平分∠BCA，

说明∠E与∠B的关系 分析：见到条件“AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线”就应该分解出角平分线的基本模型：2内

对于初一学习了二元一次方程,我们可以把几何问

模型2：

2外模型

题代数化来探究,对于思维能力不好的孩子可直接套用解题步骤: （1）.设 ∵AE平分∠BAC、CE平分∠BCA

∴设∠1=∠2=x, ∠3=∠4=y （2）．列 ∵△ABE中x+y+∠E=180, △AB0中2x+2y+∠0=180, （3）．解 ∴∠E=90+0.5∠B探究步骤简称：设列解 （1）.由角平分线设未知数，这是几何问题代数化的第一步；

(2).根据三角形的角有关的定理，例如三角形内角和为180，三角形的外角等于不相邻的两个内角和进行列方程

(3)利用二元一次方程解法，用加减消元法，或代入消元法求解

模型2：2外模型

2.如图②，在△ABC中，AE平分∠PAC、CE平分∠NCA ，说明∠E与∠B的关系

分析：见到条件,就应该分解出常见的基本模型：2外，探究方法同模型1，用“设列解”探究“2外”的结论：

∠F=90-0.5∠B；

(1).设 ∵AE平分∠PAC、CE平分∠NCA

∴设∠1=∠2=x, ∠3=∠4=y (2)．列

∵△ACE中x+y+∠E=180, △ABC中180-2x+180-2y+∠B=180, (3)．解 ∴∠E=90-0.5∠B

0

0000000

00

学生总结解题方法、解题的一设列解

学生上黑板在图上标未知数，列方程，写答案，学生畅谈条件中什么样字眼的变化，引起结论什么的变化

引领学生用最简单的方法解决问题：问题代数化，用方程思想

引导学生用类比的方法思考解决问题，按设列解步骤写完整过程，同时归纳出：条件拓宽，解题方法不变

对于初一学习了二元一次方程,我们可以把几何问题代数化来探究,对于思维能力不好的孩子可直接套用解题步骤

以题组的形式出现，设置条件的变化，

让学生产生思维碰撞，进而识别2外模型

般步骤：

把几何

模型3：

一内一外模型

四、模型识别

基础训练

例题精讲

模型3：一内一外模型

如图③在△ABC中，AE平分∠BAC、CE平分∠BCQ ，

说明∠E与∠B的关系

分析：见条件就应该分解出常见的基本模型：一内一外探究方法同模型1，用“设列解”探究“一内一外”:∠E=0.5∠B (1).设

∵AE平分∠BAC、CE平分∠BCQ

∴设∠1=∠2=x, ∠3=∠4=y (2)．列 ∵△ACE的外角y=x+∠E , △ABC的外角2y=2x+∠B (3)．解 ∴∠E=0.5∠B

学生上黑板在图上标未知数，列方程，学生组内互相交流讨论，形成共识，派代表阐述总结发现：一内一外模型识别及结论

学生练习

学生互换批阅、互讲互评

带领学生观察条件的变化？结论有化

引导学生总结三种模型的区别和联系，同时再次归纳完整的解题步骤

全班巡视，保证每个人都积极参与

总结易错点，学生谈的不到位的地方

识别这些模型的字眼什么？

引导学通过思维碰撞，学生对识别角平分基本模型的有方法，分解出模型一定的认识，及时小结刚才所思所想，形成共识，升华所学！

安排基础训练来巩固强化所学内容,；学生自主练习,互相批阅,互相交流讨论,培养自主学习能力,合作交流能力

这里设置了质点的运动，化动写答案，

什么变模型识别 基础训练

1．如图1,若CD平分∠ACE,BD平分∠ABC,∠A=45∘,则∠D=__ _∘. 2．如图2,BE、CF都是△ABC的角平分线,且∠BDC=110∘,则∠A= 3．如图3,在△ABC中,∠B=40∘，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数。

图1

图2

图3

例1、（1）如图1,∠MON=600，点A. B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P.试问：随着点A. B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB的度数。若发生变化，求出变化范围。

（2）如图2 画两条相交的直线OX、OY,使∠XOY=600，在射线OX、OY上分别再任意取A. B两

学生交流讨论如何找角平分线模型的字眼，

五．模型组合探究

点，作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A. B位置的变化，∠C的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠C的度数。若发生变化，求出变化范围。

准确的找到基本模型

学生总结

数学模型教学法：找模型、套模型、写出结果

生总结数学模型解题法的方法

引领学生透过现象看到本质

为静，以静制动，就可以识别模型的变换，最终达到“学1题、得1模型、会1类”的高度，

意在让学生能从复杂的图形的识别并快速分解出角平分线基本模型

分析：看到本题的角平分线的条件，就可立即分解出以下图形，就是“2内、一内一外”基本模型，答案一眼就看出

(1).不变，∠0=90+（2）.不变，∠C=

及时总结、形成通法：本质上就是把基本模型进行旋转变换、同时设置了质点的运动，化动为静，以静制动，就可以识别模型的变换，最终达到“学1题、得1模型、会1类”的高度，数学模型教学法：找模型、套模型、写出结果

在压轴题中，经常会把三角形角平分线的模型套模型,或者把两个模型组合，我们要能从复杂的图形中分解出一个一个的基本模型，再套用模型,写出结果

0例2．如图1,△ABC, ∠BAC

=60,∠ABC的角平分线010=1200

2

10=300

2

学生抢答，快速的分解角平分线的基本模型，

并能够

例题精讲

自我尝试

与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，则∠A1=

，∠

Q =

，

0自我尝试：如图2,△ABC，∠BAC=800,∠ACB=60,AD平分∠BAC,CD 平分∠BCN,BD平分∠CBM，则

∠BDC=_

__.

∠1=__

_.

图1

图2

口算答案

学生交流讨论，组内互助合作

，训练学生思维速度，强化学生分解出基本模型的慧眼

学生上黑板练习，训练过程的完整性

学生自主练习,互相批阅,互相交流讨论，最后小组推荐代表上黑板讲评

全班巡视，保证每个人都积极参与

总结易错点，学生谈的不到位的地方

全班巡视，保证每个人都积极参与

汇总学生的易错点，及时矫正错误思维

再次感悟数学模型解题高效

在压轴题中，经常会模型套模型,或者把两个模型组合，我们要能从复杂的图形中分解出基本模型，再套用模型,写出结果

意在将分类讨论思想与数学模型结合，再次提升学生的审题能力和综合应用能力

能力再提升：

如图，直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动,延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E. F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数。

分析：条件“∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E. F”，就应该分解出常见的2个基本模型

“2外”：

∠F=90-

0能力再提升：

1B；“一内一外”： 2

六．自我总结

知识总结

数学思想方法总结

数学文化教育总结

∠E=1B再设∠B=x,则∠F=90-0.5x, ∠2

学生大胆谈自己所获：谈知识上的所获、数学

收集、汇总大家所想所谈、以学生为主体、辅助性的总结

介绍数学模型，数学思想方法，进行数学文化教育，

总结知识点、方法点，最后谈什么是数学思想，

首尾呼应，让学生对数学模型解题法有本质上的认识，是对整节课的升华！

E=0.5x,根据条件“一个角是另一个角的3倍”，分类讨论、列方程即可

及时总结，形成通法：模型组合的本质就是把几个基本模型进行组合，我们要熟悉数学基本模型的条件，分解出基本模型，然后套用基本模型，最后写出结果，进而用一题的模型辐射一类

1.谈谈本节课你有什么收获和困惑？

角平分线基本模型

2.我们还学习了那些数学思想和方法？

数学模型解题法、类比思想、方程思想、

转化思想、分类思想

3. ★谈谈数学模型

题海无边无际，用有限的模型去解决无限的题目，以达到“学一题、得一模型、会一类”的目的，用一题辐射一类，使学生不用盲目的战题海，真正为学生减负，达到想学、爱学、轻松学、快乐学，并且学会、学好、学活的境界！

★谈谈数学思想方法

什么是数学思想，通俗的说就是将具体的数学知识都忘记后剩下的东西。掌握数学思想方法是数学的最核心素养，数学思想方法的获益是终生的，只有掌握了数学思想方法，才能抓住数学的本质，触摸到数学的灵魂！

三角形中角平分线研究是其他复杂图形或多边形中角平分线研究的基础，也就是说，复杂的图形或多边形可以转化为三角形问题，这也是探究基本模型的初衷

方法上的所获

学生能够明白：1.我们为什么要学习数学模型解题法，2.数学思想方法才是数学的最核心素养

七．模型拓展的探究

案例分析1：1.如图1四边形AODC中

，AE、0E分别是∠CAO和∠DAO角的平分线，说明∠E与∠C、∠D的关系

2.如图2四边形AODC中

，AE、0E分别是∠CAO和∠DAO的外角的平分线，说明∠E与∠C、∠D的关系

学生组内互助交流如

引导学生识别多边形角平分线基本模型转

感悟数学中的转化思想

安排在多边形中研究角平分线的基本模型，意在把行拓展，

但多边形问题本质上转化成还是三角形问题。

将复杂问题转化为简单问题。

何转化，

是哪个3.如图3四边形AODC中

，AE是∠CAO角平分线、

0E是∠DAO外角的平分线，说明∠E与∠C、∠D的关系

分析：接受模型教学法的孩子一眼就可看出：通过延长AC、0D相交与点B，这就是三角形角平分线的基本模型2内、2外、一内一外模型，

化而来，

模型进

如何分解出角平分线基本模型，并快速的口诉答案

同样，还可以拓展成五边形、六边形、甚至n边形，我们都可以通过添加辅助线转化为三角形角平分线的基本模型，然后套用模型

本质上是对图形进行了拓展，由三角形拓展成n边形，那我们就把多边形问题通过辅助线转化为三角形问题，最终找模型、套模型、写出结果