二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质课堂实录

二次函数的图像和性质（y=a(x-h)²）

教学目标：

1、

知识和能力：

使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2、

过程和方法：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

3、

情感态度价值观：1、培养学生的建模思想。

2、在探究活动中发展学生的合作意识和探究能力．

教学重点：

让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

教学难点：

理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系

同学们，上节课我们学习了二次函数y=ax²和y=ax²+b的图像和性质。大家掌握的怎样呢？下面老师检验一下：

一、温故而知新：

电脑课件出示复习题1 y=x2的图像开口顶点坐标（

），

对称轴最小值（

）。

y=x2+1的图像开口顶点坐标（

），

对称轴最小值（

）。

师：谁愿意第一个回答问题？生一说而过。

师：这两个二次函数的图像存在怎样的位置关系？

生：y=x²向上平移一个单位得到y=x²+1或y=x²+1向下平移一个单位得到y=x²

师用电脑课件进行演示过程。

师：开口向上的抛物线y随x怎样变化？生答对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大。

师：我把这两个二次函数的二次项系数改为负的，你们还会吗？

电脑课件出示复习题2、

y=-x2的图像开口顶点坐标（

），

对称轴最大值（

）。

y=-x2+1的图像开口顶点坐标，

对称轴最大值（

）。

同复习题1的方法，学生回答后可见演示过程。并出示学生回答的结果。

师：通过沿y轴上下平移抛物线我们知道了二次项系数相同的二次函数图像的形状是一样的。那二次项系数互为相反数呢？

生：图像的形状还一样。用电脑课件演示，进行比较。

师：所以二次项系数a的绝对值不变，抛物线的形状就不变。

[设计意图]让学生复习抛物线沿y轴平移，进而进一步理解抛物线是随着其顶点坐标整体平移的。

二、探究发现：（放手交给学生）

师：同学们掌握的很好。我们把二次函数y=ax²的图像沿着y轴上下平移得到了二次函数y=ax²+b，那么二次函数y=ax²的图像还可以怎样平移得到新的二次函数呢？指向事

先写好的标题：二次函数y=a(x-h)²，这就是我们今天学习的内容。

电脑出示二次函数：y=(x-1)²

师：谁愿意用代数法给大家介绍一下这个二次函数的特点？

生说：因为(x-1)²大于等于0所以y大于等于0即y有最小值。当x=1时y最小＝０。所以这个二次函数有最低点且坐标为（１，０）。因为y大于等于０所以这个二次函数的图像在x轴及其上方。

师：我们再通过画图像认识这个二次函数。画图像分列表、找点、描点、连线。

电脑出示表格和坐标系。

师：我们先找最低点。

生：（１，０）点。电脑出示该点。

师：我们用５点作图法，同学们再找其余４个点吧。放手让生找点。电脑出示结果。

师：你为什么这样找点呢？（学生根据平方等于正数的数有两个，在找点时一对一对的找）。

生：因为简单易算。

师：接下来把你们自己找的这5个点描在你们的方格纸上，再用平滑的曲线连起来。

（生画图师巡视）

投影展示生画的抛物线。师用电脑展示并强调画图的方法和技巧。（从上往下，自左而右。）让学生感受在画图过程中体现出来的增减性。（从函数值越来越小到最低点在到函数值越来越大。）

师：你们发现刚画的图像跟昨天画的y=x²的图像形状一样，只是位置不同。看着图像你想告诉同学们什么？

生会说开口方向，顶点坐标，对称轴，最值，最低点，增减性，还会说有y=x²向左平移一个单位得到的。（由电脑课件演示平移过程。）

师：为什么向右平移一个单位会得到y=(x-1)²呢？

生：因为抛物线的平移是随着顶点的移动整体平移的。

[设计意图]用代数法和画图法来讲二次函数的图像和性质，学生更容易理解，因为代数法七八年级有基础，而且二次函数本身就是数形的结合。

师：现在我把y=(x-1)²改为y=(x+1)²，咱们依然先用代数法认识这个二次函数，再画图认识。

因为有上面的基础，完全放手由学生自己来完成，不完整的有其他学生来补充。最后由学生说着，老师用电脑课件来完成画图并演示平移过程。

此时大屏幕显示着y=x²、y=(x-1)²、 y=(x+1)²的三条抛物线。

师：同学们观察这三条抛物线，有什么异同点？（同桌之间互相讨论。）

师：谁愿意先说说它们的相同点？

生答：开口方向相同，增减性相同，都有最低点从而都有最小值。

师：不同点呢？

生：顶点坐标不同，对称轴不同。

师：所以决定抛物线位置的是顶点坐标。我随即出了一道题：抛物线的开口方向和形状与y=x²相同顶点是（1，0），则函数表达式为（ ）。生答：y=(x-1)²。

师：我把二次项系数改为5、6、7、8时开口方向怎样？生：向上。师：所以当a〉0时，抛物线开口向上。

师;现在老师把二次项系数改为负的，电脑出示y=-(x-1)²。

先让学生用代数法认识，在让学生自己在手中的方格图中画出图像。

实物投影展示学生的图。在让学生说画法，师用电脑演示。

师：看着这个图像，那位同学想说说你的发现？

生：会从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性和最值来解释。

有上面的基础还会说出是有y=-x²这个图像平移得到的。如果说不出来师就问：和y=-x²的图像存在着怎样的位置关系？生答出来之后演示平移的过程。

师：现在我们看y=-(x+1)²这个二次函数。

让生先用代数法认识，然后生说着师用电脑课件演示画图过程。

师：这个图像与y=-x²存在着怎样的位置关系？

生答师演示平移的过程。

师：x轴下方这三条抛物线有什么异同点？

由上面的基础，不给讨论时间了，生直接说异同点。

师：我把-1改为-2、-3、-1/5等抛物线的开口方向？生答向下。

师：所以当a<0时，抛物线开口方向向下。

师：(x-1)²顶点是（1，0），对称轴是直线x=1.那(x-2)²的顶点坐标和对称轴呢？减1/5呢？减-（-1/2）呢？最后老师追问减h呢？生答顶点坐标（h,0）对称轴是直线x=h。

师：那么y=a(x-h)²是有哪个二次函数平移得到的？

生：是有y=ax²平移得到的。

师：y=ax²怎样平移得到y=a(x-h)²？

生：沿x轴左右平移。

师：什么情况下向左？什么情况下向右呢？

生：当h<0时向左平移，当h>0向右平移。

师：所以我们遵循着左加右减的原则沿着x轴平移抛物线。其实底数加一个正就是减了一个负数。

电脑出示学生总结的性质，学生齐读。

[设计意图]追加提问的目的是让学生有特殊到一般的过渡，很顺利的总结出y=ax²平移得到y=a(x-h)²的结论。因为二次函数对于同学们是一个全新的内容。让学生齐读性质内容，是为了学生进一步理解开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最高或最低点。

电脑出示课本的例题1：

学生自己完成，一生板书。是强调书写格式。

[设计意图]为了学生进一步应用这些性质。

三、板书设计：

二次函数的图像和性质（y=a(x-h)²）

y=ax²

h<0，h>0 四、小结：

师：谈谈你在这节课的收获吧！（生畅所欲言）

五、练习：

1. 抛物线y=2(x-3)2的对称轴是（）

顶点坐标（）。

2. 关于抛物线y=x2与y=(x-2)2说法正确的是( ）

A 形状相同，位置不同

B 形状不同，位置不同C 顶点相同

D 对称轴相同

3. 将y=2x2的函数图像向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（）

A

y=2x2+2

B

y=2(x+2)2

C

y=2(x-2)2

D

y=2x2-2 4. 将y=-x2向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）

A

y=- (x+2)2

B

y=-x2+2

C

y=-(x-2)2

D

y=-x2-2 5. 将抛物线y=2(x+2)2向右平移3个单位即得到抛物线(

) 6. 对称轴是直线x=-2在抛物线是（）

A y=-x2+2

B y=x2+2 C y=(x+2)2

D y=3(x-2)2 7. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在（）

A 第一象限B 第二象限

C x轴上D y轴上

8. 抛物线y=-(x-2)2，开口（），当（）时，

y随x的增大而增大，当（）时，y随x的增大而减小。

9. 顶点坐标为（2,0）形状大小和开口方向与函数y=-2x2的图像相同的抛物线是（）。

10. 写出以（3,0）为顶点的函数表达式。(

) 六、课堂反思：

1、成功之处：

在导入部分,通过对上一节的复习，让学生进一步理解函数图像的平移过程。增强了学生的感性认识,从而激发了学生的学习热情.通过采用探究式的教学方法,把课堂的自主权交给学生,让学生真正成为课堂的主人,充分体现了学生的主体作用,尤其在用数学法理解二次函数的时候，增强了学生数形结合的意识。对学生进行同桌之间的讨论,让学生自己动手,自己归纳结论,突出了重点并突破了难点.通过合作交流的学习方式,培养学生的实际操作能力和互助的学习技能,同时提高了学生的学习热情,把枯燥乏味的数学教学活动转变为生动有趣的学习活动,更加有利于学生对知识的理解和掌握,在此过程中,更注重学生数学解题思维能力的培养,充分体现了教师引导下的学生主体地位,符合新课标的要求,更有利于教学相长. 2、不足之处： 对学生的练习较少。.