3.1 数系的扩充优质课教案内容

江苏省一师一优课教学设计

数系的扩充

江苏省建湖县第二中学

姜如军

一、教学目标：

一．知识与技能

(1) 了解数系扩充的过程；

(2) 理解复数的基本概念与复数相等的充要条件. 二．过程与方法

(1) 通过数系扩充历史的剖析，让学生体会数系扩充的必要性及一般方法；

(2) 类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，新数与原数、新数与新数可以进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.在此基础上，理解复数的基本概念，复数相等的条件并能进行简单的运用. 三．情感态度与价值观

(1) 虚数单位i的引入，产生了复数集，让学生体验在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；

(2) 初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题；

(3) 让学生在问题生成和解决的过程中体验类比、化归等思想方法，提高数学素养，培养创新意识. 二、教学重点、难点：

重点：数的概念的发展和数系扩充的过程，复数的有关概念. 难点：虚数单位i的引进. 三、教学方法与教学手段：

创设情境、启发引导

四、教学过程：

（一）创设情境，提出问题

方程x10(xN),2x1(xZ),x220(xQ),x210(xR）有解吗？

分组讨论：1．为什么这些方程在给定的范围内无解呢？

2．能否适当扩大数集的范围使得这些方程在新的数集内有解？

（设计意图：通过上述问题的研究，让学生感受到方程是否有解与所给数集有关，随着数集的扩充，在原来数集中无解的方程到新的数集中也可以变得有解。）

（二）师生活动，深入探究

问题1.

由自然数集添加什么数就扩充到整数集？

问题2.

你能说说当自然数集引入负整数扩充到整数集后,对原有的运算(律)是否发生了变化? 问题3.

数集扩充的过程有什么共同的特点呢? 总结归纳：(1) 都引入了新数

,并且使得原来某种不可以实施的运算变得可行了;

(2) 新数集中原有的运算律仍然适用. （设计意图：在问题串的带领下，让学生感受数集扩充的过程和数集扩充

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遵循的原则，从而为实数集向复数集扩充做好铺垫。）

（三）类比推理，建立概念

问题4.

对于方程x210(xR），我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中该方程有解? 于是我们引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：

（1）i2=-1; （2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 互动互学：将实数和i进行运算，你将得到什么样的数？

（设计意图：在有理数集向实数集扩充过程的铺垫下，让学生自然地、自主地实现实数系向复数系扩充，这是本节课的重点。）

1、定义：形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数，通常用字母z表示,其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. 全体复数组成的集合叫复数集，通常用C表示，即C={a+bi|a,b∈R}.

2．复数的分类：

复数z=a+bi(a,b∈R)

实数（b=0）

虚数（b≠0） （特别地，当a=0时为纯虚数）

（四）实际运用，深化理解

14例1：写出复数4，2-3i, 0, 



i

,

5



2

i

,

6i的实部与虚部。并指出哪

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些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

例2：当实数m为何值时，复数zm(m1)(m1)i是

（1）

实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

（设计意图：通过两个例题对复数的有关概念加以巩固。）

思考：你认为应该怎样定义两个复数相等呢？

在对复数理解的基础上，再次观察学生构造出来的那些复数，引导学生得出：

规定：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．

ac即

abicdibd(a,b,c,dR)．

例3：已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求实数x,y的值。

练习：

已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y, 求x,y。

（设计意图：通过例题3对复数相等进一步理解，并重点指出复数问题转化为实数问题来解决这一化归思想。）

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（五）课堂小结，回顾反思

（六）作业布置，加深巩固

1．选修1-2 p60 习题1、2、3 2．查找相关资料了解数的发展史．

3．关注生活中的数学问题，看看解决这些问题要用到我们数系中的哪方面知识．

教学设计说明

复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们由几个方程在所给范围内无解这个问题，体会数系有进一步扩充的必要。那么怎么扩充？扩充要注意什么？引导学生自然而然的想到从自然数N到整数Z到有理数Q再到实数R扩充过程中寻找到原因与方法。目的是使学生利用已有知识与经验，类比推理引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。

在回忆的过程中，注意让学生体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受数与现实世界的联系；渗透每一次扩充都是为了解决一个矛盾、扩充之后原有数集的运算及其性质仍然适用、新的数集中的数都可用旧的数集中的数来表示等等。让新数i及其两个性质的规定显得自然和必要。

让学生自己举出虚数的例子，一方面感受实数可以与新数i进行四则运算，原有的加法、乘法运算律仍然成立；另一方面能利用从特殊到一般的思想得到zabi(a,bR)的形式，为复数概念的提出奠定了基础。

例1的设置是为了巩固复数的相关概念。例2的设置是为了进一步理解什么是实数？什么是虚数？什么是纯虚数？特别要讲清楚当a0且b0时才是纯虚数。例3的设置是为了引出两复数相等的充要条件，我们要给学生充足的时间去思考，遇到等式应该怎么处理，让学生自动的想到移项，从而转化为实数0，进一步加深学生对复数概念的理解。我们在讲解例3时，不仅说清怎样解，更要说清为什么这样解，，把两复数相等问题转化为实数集中求方程组问题，为复数问题实数化埋下伏笔，这样才有利于发展学生的思维能力。