复习参考题优质课教案内容

章末复习提升课

线性回归分析

[问题展示]

(选修2-3 P101复习参考题A组T2)如果美国10家工业公司提供了以下数据(单位：百万美元)：

通用汽车

埃克森

通用电气

菲利美孚

普·莫利斯

50 976

39 069

克莱斯勒

德士古

公司

福特

IBM 杜邦

销售总额x1

利润x2

126 974

96 933

86 656

63 438

55 264

36 156

35 209

32 416

4 224

3 835

3 510

3 758

3 939

1 809

2 946

359

2 480

2 413 (1)作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；

(2)建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；

(3)计算R2，你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由．

【解】

(1)将销售总额作为横轴x，利润作为纵轴y，根据表中数据绘制散点图如图．

由于散点图中的样本点基本上在一个带状区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈线性相关关系．

^^(2)由最小二乘法的计算公式，得a≈1 334.5，b≈0.026，

^则线性回归方程为y＝0.026x＋1 334.5.

其残差值计算结果见下表：

销售总额

利润

残差

销售总额

利润

残差

126 974

4 224

－411.824

50 976

1 809

－850.876

96 933

3 835

－19.758

39 069

2 946

595.706

86 656

3 510

－77.556

36 156

359

－1 915.556

63 438

3 758

774.112

35 209

2 480

230.066

55 264

3 939

1 167.636

32 416

2 413

235.684

(3)对于(2)中所建立的线性回归方程，R2≈0.457，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46%，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系．

经分析预测，美国通用汽车等10家大公司的销售总额xi(i＝1，2，…，10，单位：百万美元)^^与利润yi(i＝1，2，…，10，单位：百万美元)的近似线性关系为y＝0.026x＋a，

经^（1）求a; ^（2）若通用汽车公司的销售总额x1＝126 974（百万美元），残差e1＝－387，估计通用汽车的利润；, （3）福特公司的销售总额为96 933百万美元，利润为3 835，比较通用汽车与福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率说明了什么？,（以上答案精确到个位）

得样本中心点为(62 309，2 930)，

^所以a＝2 930－0.026×62 309＝1 310.

^(2)由(1)知y＝0.026x＋1 310，

当x1＝126 974时，

^y1＝0.026×126 974＋1 310≈4 611，

^^所以y1＝y1＋e1＝4 611＋(－387)＝4 224，

估计通用汽车的利润为4 224百万美元．

(3)由(1)(2)可得通用汽车利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为R21，

则（y1－y1）R2＝1－1（－387）2＝1－≈0.911＝91.1%.

－2（1 294）2（y1－y）^2设福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为R22，

^由y＝0.026x＋1 310得

^y2＝0.026×96 933＋1 310≈3 830，

则（3 835－3 830）22R2＝1－2＝1－（3 835－2 930）52≈0.999 9＝99.99%.

9052^2由R2用y＝0.026x＋1 310作为解释变量与预报变量的关系，预报通用汽车的效果没1＜R2知，有预报福特公司的效果好，或者说预报通用汽车的精确度低于预报福特公司的精确度．

非线性回归分析

[问题展示]

(选修2-3 P86例2)一只红铃虫的产卵数y和温度x有关．现收集了7组观测数据列于表中，试建立y关于x的回归方程．

温度x/℃

产卵数y/个

【解】

根据收集的数据，作散点图：

21

7

23

11

25

21

27

24

29

66

32

115

35

325

由散点图知，样本点分布在某条指数函数曲线周围，故该回归方程为y＝c1ec2x，两边取对数得ln y＝c2x＋ln c1，

z＝ln y^^^^^作变换(c2＝b，ln c1＝a)，得z＝bx＋a，

x＝x且变化后所得样本数据表为

x 21

23

25

27

29

32

35

z 1.946

2.398

3.045

3.178

4.190

4.745

5.784

经计算得z关于x的线性回归方程为

^z＝0.272x－3.849，所以y关于x的回归方程为

1^0.272x－3.849^y＝e即y＝3.849·e0.272x. e

[拓展1]“指数型”回归方程选择的等价性．

(1)选择指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)不科学，因为指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)恒过定点(0，1)，且仅有一个估计值a，不能有效体现解释变量x与预报变量y之间的关系，即拟合效果很差．

(2)“平移型”指数函数与y＝c1ec2x的等价性．

①回归方程为y＝axb

＋由y＝ax＋b得ln y＝(x＋b)ln a＝(ln a)x＋bln a，

z＝ln y^^^^^作变换(b＝ln a，a＝bln a)，则有z＝bx＋a. x＝x②回归方程为y＝ax＋b，令ax＝k·ex，t＝ex，

1t＝kax，^^可得变换得y＝kt＋b(b＝k，a＝b)．

y＝y(3)一般“指数型”函数与y＝c1ec2x的等价性．

回归方程为y＝k1ek2x＋b

因为y＝k1ek2x＋b＝k1ek2x·eb＝k1eb·ek2x，

ln y＝ln(k1eb)＋k2x＝ln k1＋b＋k2x，

z＝ln y^^作变换(b＝k2，a＝ln k1＋b)，

x＝x^^^则有z＝bx＋a. [拓展2]从散点图看回归方程的设置

(1)由本例从散点图可以看出，样本点集中在某二次函数(抛物线)的附近，因此可选择二次函数y＝ax2＋b作为回归方程．

2t＝x，^^作变换即得y＝at＋b(其中b＝a，a＝b)．

y＝y(2)若选用y＝ax2＋bx＋c模型，则具有不确定性；

b4ac－bx＋－因为y＝ax＋bx＋c＝a，

2a4a222

bt＝x＋2a，4ac－b2虽然作变换可得出线性关系y＝at＋，

4ay＝ybx＋的t值不确定，从而不能列出样本点(ti，yi)数但由于a、b、c未确定，从而变换t＝2a4ac－b2据表，即y＝at＋不能确定．

4a因此，我们根据散点图设置回归方程应特别注意：

t＝f（x），①变换可列出(ti，zi)的数据表．

z＝g（y）22^^②注重变换后的线性回归方程中的b与a与变换前参数的关系．

③利用求出的线性回归方程替换变量后还原成原问题的回归方程．

④最后根据需要进行回归分析．

独立性检验

[问题展示] (选修2­3 P97练习)甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：

班级与成绩列联表

甲班

乙班

总计

优秀

10

7

17

不优秀

35

38

73

总计

45

45

90 请画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关系；根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？

【解】

列联表的等高条形图如图．由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”．

假设成绩与班级没有关系，则有a＝10，b＝35，c＝7，d＝38，a＋b＝45，c＋d＝45，a＋c＝17，b＋d＝73，n＝90，代入K2公式，得K2的观测值

90×（10×38－7×35）2k＝≈0.653.

45×45×17×73

由于k≈0.653＜6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为成绩与班级有关系．

甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表

班级与成绩列联表

甲班

乙班

总计

18若K2的观测值为. 13(1)求a，b，c，d的值；

(2)根据观测值表，能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为成绩与班级无关．

【解】

(1)由表知，c＝25－a，b＝45－a，d＝45－c＝45－(25－a)＝20＋a，n＝90.

n（ad－bc）2由K＝得

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2优秀

a c 25

不优秀

b d 65

总计

45 45 90 90[a（20＋a）－（25－a）（45－a）]218＝，

1345×45×25×65化简得(2a－25)2＝25，所以2a－25＝5或2a－25＝－5，

所以a＝15或a＝10，当a＝10时，

甲班

乙班

总计

当a＝15时，

甲班

乙班

总计

说明甲班与乙班编号不同而已，

故当a＝10时，b＝35，c＝15，d＝30，

或当a＝15时，b＝30，c＝10，d＝35.

优秀

15

10

25

不优秀

30

35

65

总计

45

45

90

优秀

10

15

25

不优秀

35

30

65

总计

45

45

90

18(2)因为K2的观测值k＝≈1.385＞1.323，

13而P(K2≥1.323)＝0.25，

所以在犯错误的概率不超过0.25的前提下可以认为成绩与班级无关．

数学教师STC对他所任教的高二两个班进行一次数学考试(满分100分)，从两个班学生考试成绩中，都随机抽取了15名学生的数学成绩的茎叶图如下，

(1)从茎叶图能否判断乙班的成绩好于甲班的成绩；

(2)若记成绩在区间[80，100)为优秀，小于80为不优秀，你有多少把握判断乙班的成绩比甲班的成绩优良．

【解】

(1)甲班成绩集中在“茎7”，乙班的成绩集中在“茎8”，从茎叶图可判断乙班的成绩好于甲班的成绩．

(2)根据茎叶图列出2×2列联表

甲班

乙班

总计

2优秀

5

7

12

不优秀

10

8

18

总计

15

15

30

30×（5×8－7×10）255K的观测值k＝＝≈0.556＞0.455，且k＝≈0.556＜0.708，

9915×15×12×18又P(K2≥0.455)＝0.50，P(K2≥0.708)＝0.40，

故仅有50%至60%的把握认为乙班的成绩比甲班的成绩优良．

1．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是(

)

解析：选B.因为两变量x，y成正相关，所以其在坐标系中的散点分布应在左下角到右上角的区域，故选B.

2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法

分别求得相关系数r与残差的平方和m如下表：

r m 甲

0.82

106

乙

0.78

115

丙

0.69

124

丁

0.85 103 则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(

) A．甲

C．丙

B．乙

D．丁

解析：选D.相关系数r越接近于1和残差平方和m越小，两变量A、B的线性相关性越强，故选D. 3．某大学数学系学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好游泳运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

2男

40

20

60

女

20

30

50

总计

60 50 110 n（ad－bc）2由K＝算得K2的观测值

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）110×（40×30－20×20）2k＝≈7.8. 60×50×60×50附表：

P(K2≥k0)

k0

参照附表，得到的正确结论是(

) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别无关”

解析：选C.因为K2≈7.8＞6.635，但7.8＜10.828，故在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别有关”，故选C.

4．某化妆品公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)

2

3

5

6

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

销售利润y(万元)

5

7

9

11 ^^^^由表中数据，得线性回归方程l：y＝bx＋a(b＝错误!，错误!＝y－错误!x)，则下列结论正确的是(

) ^A.b＜0 ^B.a＜0 C．直线l过点(4，8) D．直线l过点(2，5) ^^－^－^解析：选C.因为b＝1.4＞0，a＝y－bx＝8－1.4×4＝2.4＞0，所以排除A、B；因为y＝1.4x－－＋2.4，所以1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以点(2，5)不在直线l上，所以排除D；因为x＝4，y＝8，所以回归直线l过样本点的中心(4，8)，故选C.

5．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根据收集到的数据可知x1＋x2＋x3＋x4^＋x5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y＝0.67x＋54.9，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5的值为________．

－1^－－解析：由题意，得x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝30，且回归直线y＝0.67x＋54.9 恒过点(x，y)，5－－则y＝0.67×30＋54.9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5y＝375.

答案：375 6．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：

x y 16

50

17

34

18

41

19

31 ^^^^由表可得回归直线方程y＝bx＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为________个．

^^－－^解析：由表可得回归直线方程y＝－4x＋a，且x＝17.5，y＝39，所以39＝－4×17.5＋a，^^^所以a＝109，把x＝20代入回归方程y＝－4x＋109中，得y＝－4×20＋109＝29.

答案：29 7．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

服用

感染

10

未感染

40

总计

50

未服用

总计

附表：

P(K2≥k0)

k0

20

30

30

70

50 100 0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024 参照附表，在犯错误的概率不超过________(填百分比)的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．

100×（10×30－20×40）2解析：K的观测值k＝≈4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不30×70×50×502超过5%的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．

答案：5%