3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计和教学实录

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、教学目标：

1、知识与技能目标：

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质。

2、过程与方法目标：

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。

3、情感、态度与价值观目标：

复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

二、重点.难点

重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算

难点：复数除法的运算法则．

三、教学用具：多媒体. 四、教学过程

（一）、知识回顾：

①复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

②复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. ③复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. ④复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 以上可以得出：复数的加减法法则及运算律和多项式的加减法比较类似，那么复数的乘除和多项式的乘除又是如何呢？

（二）、新课讲授

1、【规定】复数的乘法法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：

(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

【明确】两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．

例1计算(1) (1-2i)(3+4i)(-2+i) (2) (1+i)2 (3) (3+4i)(3-4i) 点评：实数集中的完全平方公式、平方差等公式在复数集中仍然适用. 探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

【探究】复数的乘法是否满足交换律①、结合律②以及乘法对加法的分配律③？

【解答】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ① z1z2=z2z1. 证明：∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. ② (z1z2)z3=z1(z2z3). 证明：∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). ③z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

例2．1、计算（1）(14i)(14i) （2）(14i)(72i)(14i)（3）(32i)2

2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(23i)Z8，试求Z的值。

②共轭复数：两复数abi与abi叫做互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

练习：说出下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i。

③类比12(12)(23)，试写出复数的除法法则。

23(23)(23)2．复数的除法法则：(abi)(cdi)其中cdi叫做实数化因子

abi(abi)(cdi)acbdbcadi

cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2例3．计算(32i)(23i)，(12i)(32i)（师生共同板演一道，再学生练习）

练习：计算（1）32i3i，（2）

(12i)2(1i)21（三）、巩固练习：

1i2i （2）ii2i3i4i5 （3）1．计算（1）i32i312i

四、课后小结：

⑴复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. bdbcad（c+di≠0）⑵复数的除法法则是：abiac．

2i222cdicdcd两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简．

五、课后作业：

课本P61习题3.2Ａ组第4,5题；B组题.