1.3 二项式定理（通用）主要内容及教案内容

1.3.1二项式定理

一、教材分析

【教材的地位及作用】

二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。 【学生情况分析】

学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。

（根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。

【教学目标】

1、知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。 2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。 3、情感目标：

（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心. （2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 使学生体会到数学内在的和谐对称美. 【教学重点、难点】

重点：二项式定理的内容及应用。

难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。 二、教法、学法分析

数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，

1

培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。 三、教学手段

制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解。 四、教学程序设计

1、复习引入：初中学***方式是什么？你能写出【设计意图】

通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认知的冲突，让学生明白ab实质上是多项式的乘法。

nab、ab的展开式吗？

342、定理的两种推导过程

思路一：观察下列几个等式：

abab2a22abb2

3

ab3a33a2b3ab2b3

4ababa44a3b6a2b24ab3b4

提问：

(1)以ab为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的次数是什么？有几项？

44(2) ab展开式中各项的系数与ab3展开式中各项的系数有没有关系？

(3)你能猜想ab展开式的形式吗？

n【设计意图】

由特殊的二项式来分析猜想一般的abn展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神。

发现： （１）展开式中各项是abijn的形式，可按a（或b）的降幂排成：

ij

an，an1b，an2b2,…，abn1，b

n（２）展开式中各项系数的规律：将abn展开式的系数列成表如下： n=1: 1 1

2

n=2： 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 … … … … … 发现：

发现每行两端都是１，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到组合数1及其性质：Cnm1CnmCnm，于是各项系数可写成表中形式： 1

C10

C11

C20

C21

C22

C30

C31

C32

C33

C40

C41

C42

C43

C44

…

…

…

由此猜想ab展开式的各项系数：C,C,C,,C

n012nnnnn【设计意图

】

学生对各项是aibj形式不难猜测到，但对二项式系数不易想到。通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想到abn各项系数为Cnrr0,1,2,,n，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐、对称美。在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情。

思路二：

观察此式：ab4abababab

ij由多项式乘法知，其展开式的每一项是由４个括号各取一项相乘而得，故每一项都是ab

i4j4形式，即a4,a3b,a2b2,ab3,b4。各项系数是由相同的项合并而成，有几项其系数就是几，故

0含a的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4b0，系数为：C4

含a含a3b的项只能由1个括号取b，余下的3个括号取a而得，即C41a3b，系数为：C222414

2b2的项只能由2个括号取b，余下的2个括号取a而得，即Cab，系数为：C4

2

3

含ab的项只能由3个括号取b，余下的1个括号取a而得，即C43ab3，系数为；C43

3含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C4b，系数为C4 444从而可得：ab提问：n4C40a4C41a3bC42a2b2C43ab3C44b4

ab的展开式怎么写呢？

引导学生回答：可以对b分类：不取b,取1个b,取2个b,…,取k个b,…,取n个b 将这n+1个式子相加，可得二项式定理 abnCnna0bn

Cn0anb0Cn1an1bCn2an2b2【设计意图】

本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。 3、定理及其特点

把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数Cn

rr1,2,3,,n叫做二项式系数，其通项公式为：T说明

：

r1Cnranrbr0rn

（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。

（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中nN . （3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（4）通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a、b位置不能对换。

（5）二项式系数为Cn，注意与项的系数的区别。 r例如：12x的第四项是T46、布置作业：

7第四项的系数为： C7335，C73142x,其二项式系数为：C2280。33371、课本作业：Ｐ113 1、（1），2、（2），3、（3） 2、思考题：求x23x2的展开式中x的系数 53、研究性题：fx1x1x，m,nN的展开式中x的系数为19，求x的系数的最小值及此mn2

4

时展开式中x的系数。 7【设计意图】

（1）本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察、分析、猜想、归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。

（2）通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。 五、评价分析

本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：

1、本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎、归纳，得出定理。培养学生猜想、归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2、在例题、练习、作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例2，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学。

3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解、主动探索的认识过程必然伴随着学生心理意志、情感、品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长。 板书设计：

二项式定理

一、复习引入 ［思路一］ 四、应用解析

…… …… ……

二、二项式定理 ［思路二］ 五、小结

…… …… ……

三、二项式定理的几点说明 …… 六、布置作业

…… …… ……

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