3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

爱周中学数学组：陈文高

教学目标：

1：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

2：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

教学过程：

1.虚数单位：（1）它的平方等于-1，即

; （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. 与－1的关系：

就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－

3. 复数的代数形式：

复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

讲解新课：

１。乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

2.乘法运算律：

（1）z1z2= z2z1

（2）z1（z2z3）=（z1z2）z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i（a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R）。

∵z1z2=（a1+b1i）（a2+b2i）=（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i，

z2z1=（a2+b2i）（a1+b1i）=（a2a1-b2b1）+（b2a1+a2b1）i.

又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.

∴z1z2=z2z1.

（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i（a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R）。

∵（z1z2）z3=［（a1+b1i）（a2+b2i）］（a3+b3i）=［（a1a2-b1b2）+（b1b2+a1b2）i］（a3+b3i）

=［（a1a2-b1b2）a3-（b1a2+a1b2）b3］+［（b1a2+a1b2）a3+（a1a2-b1b2）b3］i

=（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3）i，

同理可证：

z1（z2z3）=（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i，

∴（z1z2）z3=z1（z2z3）。

例1计算（1-2i）（3+4i）（-2+i）

解：（1-2i）（3+4i）（-2+i）＝（11-2i）

（-2+i）= -20+15i.

例2计算：

（1）（3+4i）

（3-4i）

；

（2）（1+ i）2.

解：（1）（3+4i）

（3-4i）

=32-（4i）2=9-（-16）=25;

（2）

（1+ i）2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.

3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数的共轭复数为。

4. 复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：（a+bi）（c+di）或者

5.除法运算规则：

①设复数a+bi（a，b∈R），除以c+di（c，d∈R），其商为x+yi（x，y∈R），

即（a+bi）÷（c+di）=x+yi

∵（x+yi）（c+di）=（cx－dy）+（dx+cy）i.

∴（cx－dy）+（dx+cy）i=a+bi.

由复数相等定义可知

解这个方程组，得

于是有：（a+bi）÷（c+di）= i.

②利用（c+di）（c－di）=c2+d2.于是将的分母有理化得：

原式=

.

∴（a+bi）÷（c+di）=.

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而（c+di）·（c－di）=c2+d2是正实数。所以可以分母实数化。

把这种方法叫做分母实数化法

例3计算

解：

巩固练习：

1.计算：（1+2i）2

2.计算（i-2）（1-2i）（3+4i）

3.计算

4.若且，则。

5.已知复数是的共轭复数，求x的值。

6.计算

⑴ ⑵ ⑶

7.若，则_____.

本节小结：

（1）复数乘法法则：（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i

（2）共轭复数：复数= a+bi的共轭复数为= a-bi

（3）复数除法法则：（a+bi）÷（c+di）=

课后作业：课本第112页 习题3. 2 A组4，5，6 B组1，2

教学反思：

复数的乘法法则是：（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.

复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式。

复数的除法法则是：i（c+di≠0）。

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

课后练习

1.复数等于（ C ）

A.B.C.D.

2.化简的结果是（

Ｃ

）

Ａ。Ｂ。Ｃ。Ｄ。

3.复数的值是（

）

（A）0（B）1（C）（D）

解析：选A

本题考查复数的代数运算。

4.若a为实数，＝-I，则a等于（B）

（A）（B）-（C）2（D）-2

5.是虚数单位，

.（用的形式表示，）

6.计算：

（1）（7-6i）（-3i） （2）（3+4i）（-2-3i）

7.计算：

（1） （2） （3）i（2-i）（1-2i）

8.计算：

（1） （2） （3） （4）

3）（1+2i）（3-4i）（-2-i） （