探究与发现 子集的个数有多少教案2

1.1.1 分类计数原理与分步计数原理

第二课时

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

本节知识为人教A版选修2-3第一章第一节的内容，只有理科生选修，对很多学生的思维要求较高，分析、解决问题的技巧性强，是学生学习的难点。高考中考察的题型包括客观题和主观题，客观题出题难度一般为中档题和难题，学生能分析出题目的一些重要信息，但很容易忽略一些细节，失分严重；客观题主要结合离散随机变量及其分布列的知识进行考察，主要以中档题为主，得分相对容易些。本节知识是学习排列组合的基础，也是排列组合知识的理论基础，本节内容安排3课时，第1课时主要了解两种计数原理的定义及其区别；第2课时主要体会应用两种计数原理解决实际问题的方法与技巧；第3课时主要对综合应用问题的进一步巩固与强化，特别是涂色问题是学生学习的难点。本节课是第2课时的内容，重要思想是分类讨论，需要掌握应用两种计数原理时的一个重要技巧——特殊位置特殊元素优先原则。

（二）通解通法

1．对于选(抽)取问题，一般带有某些限制条件，其解答方法是，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树图法、框图法及表格法进行枚举；当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数，否则直接用分类加法或分步乘法计数原理计数，但一般根据选(抽)顺序分步或根据选(抽)元素的特点分类解决．

2．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．

3．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．

（三）数学思想方法

转化的思想方法、分类讨论思想方法

二、教学目标

1．

进一步体会分类计数原理与分步计数原理的区别与联系．

2．会用间接法，特殊位置、特殊元素优先原则解决一些实际问题．

3．通过分类计数原理的学习，让学生体会分类讨论的思想方法在实际生活中的应用，掌握处理实际问题的一些特殊方法与技巧，提高他们的思维素质．

4．通过一题多解充分发挥学生的能动作用，能从不同的角度去思考问题，学会对比分析，归纳总结，辩证地思考问题，找到适合自己的方法．

三、教学重难点

重点：间接法和特殊元素、特殊位置优先原则在两个原理中的应用．

难点：分类计数原理和分步计数原理的综合应用．

本节课的知识是对上节课内容的补充，学生对分类计数原理和分步计数原理以经有了初

1

步的认识，在处理问题的过程中，对基本的方法和技能还不熟练，可能会走不少的弯路，对于一些特殊的问题我们会用特殊的方法将复杂的问题简单化，因此我们将间接法和特殊元素、特殊位置优先原则作为本节课的重点内容，为了要突出重点，对于一些难题在教学过程中给学生充足的时间讨论和发表自己的观点，通过一题多解让他们对比分析，找到适合自己的方法．在应用分类计数原理的过程中很多同学能够想到解决问题的方法，但分类要做到不重复也不遗漏就不是很容易了，很多情况下学生认为自己的方法是正确的，但答案又不正确，自己又找不到出错的原因，容易挫伤学生的自信心，因此我们把分类计数原理和分步计数原理的综合应用作为本节课的难点，为了解决这一问题，要让学生积极参与讨论，充分发表自己的意见，现在小组内部解决个别同学存在的问题，共同性的问题在课堂上一起研究，让出错的同学谈自己的观点，大家帮助他找到错因．

四、学生情况分析

该班的同学有1/5具有很好的思维素质，有1/5基础相对较弱，应变能力和数学理解能力较差．为了更好地落实学校的“五环教学”模式，鼓励学生积极发言，上课发言在小组考核中占了比较大的比重，学生敢于发表自己的观点，能积极参与小组讨论．但在很多细节上学生缺乏严谨的思想，考虑问题还不全面，个别同学审题不够仔细．

五、教学过程

（导学案）

【自主学习】

阅读6-10页（利用前一天晚自习完成）

（一）、学习目标

（1）进一步体会分步计数原理与分类计数原理的区别；

（2）学会题目中带有限制条件题目的常规解法；

（3）能解决一些简单的分步计数原理与分类计数原理的综合题．

（4）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．

（二）、知识梳理

1、正确区分和理解两个原理

(1)

分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；

分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．

(2)用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，确定需要分类还是分步．

①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

②分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

③对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于

2

我们解题. 2、对于选(抽)取问题，一般带有某些限制条件，其解答方法是，

(1)当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树图法、框图法及表格法进行枚举；

(2)当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数，否则直接用分类加法或分步乘法计数原理计数，但一般根据选(抽)顺序分步或根据选(抽)元素的特点分类解决．

（三）、即学即练

1．乘积(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4)展开后共有

36

项．

x2y22．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，mn7}，则满足题意的椭圆的个数为________．

解析：因为焦点在y轴上，所以0

(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，

有几种不同的选法？

(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．

(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．

(3)分为三类：第一类：一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；

第二类：一幅选自国画，一幅选自水彩画由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；

第三类：一幅选自油画，一幅选自水彩画由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．

所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．

即学即练三个题目主要是对上节课知识的复习巩固，一些题目选自课本，一些选自教辅资料．

【课堂检测】（10分钟）

1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4，5}，设P(x，y)，x∈M，y∈N，若点P在直线y＝x的上方，则这样的点P有多少个？

解：∵点P在直线y＝x的上方，∴x

又x∈M，y∈N，可按x的取值分类考虑．

(1)当x＝1时，y＝2，3，4，5，则符合条件的点P有4个；

(2)当x＝2时，y＝3，4，5，则符合条件的点P有3个；

(3)当x＝3时，y＝4，5，则符合条件的点P有2个．

根据分类加法计数原理，这样的点P共有：

N＝4＋3＋2＝9(个)．

3

2．在7名学生中，有3名只会下象棋，有2名只会下围棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

（一题多解，从不同角度考虑）

解：法一：按只会下围棋的2名学生被选人数的多少进行分类：

第1类：2名学生均不被选，有2×4＝8(种)不同选法；

第2类：2名学生被选1人，有2×5＝10(种)不同选法．

根据分类加法计数原理，共有8＋10＝18(种)不同选法．

法二：按只会下象棋的3名学生被选人数的多少进行分类：

第1类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，有3×4＝12(种)选法；

第2类：3名只会下象棋的学生均不选，有2×3＝6(种)选法．

根据分类加法计数原理共有12＋6＝18(种)选法. 3．用数字1，2，3，4，5组成一个四位数

（1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？

（2）可以组成多少个四位数？

解：（1）5×4×3×2=120；（2）5×5×5×5=625 4（选做）甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？

解：法一：列表分类讨论（学生容易想到，但过程较复杂，符合学生的思维习惯）

法二：（计算过程简单，但不容易想到此方法，重点在用引出本节课的特殊元素、特殊位置优先考虑的原则）

第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；

第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；

第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；

第四步，最后1个人取，只有1种取法．

由分步乘法计数原理可知，共有3×3×1×1＝9种取法．

课堂检测部分有4题，1、2题重点考察学生的分类计数原理，3、4题考察分步计数原理，其中1、3两个题目先对简单，学生通过分组讨论(5分钟)解决，重点讨论2、4两个小题，让学生积极发表意见．（10分钟）

【当堂训练】（10分钟）

1．已知x∈{1，2，3}，y∈{2，4，6}，则xy可表示不同的值的个数为(

A

) A．6

B．7

C．8

D．9 2．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：

(1)银行存折的四位密码？

(2)四位整数？

(3)四位奇数？

(4)有多少个比2 000大的整数？

解：

(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：

第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；

第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；

第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；

第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．

由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有

4

N＝5×4×3×2＝120(个)．

(2)完成“组成无重复数字的四位整数”这件事，可以分四个步骤：

第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；

第二步：从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；

第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；

第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．

由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)．

(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：

第一类办法，四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成．

第一步：从2，3，4中选取一个数字作千位数字，有3种不同的选取方法；

第二步：从2，3，4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个数字作百位数字有3种不同的选取方法；

第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有2种不同的选取方法．

由分步乘法计数原理知，第一类中的四位奇数共有

N1＝3×3×2＝18(个)．

第二类办法，四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成．

第一步：从1，2，4中选取一个数字作千位数字，有3种不同的选取方法；

第二步：从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种不同的选取方法；

第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有2种不同的选取方法．

由分步乘法计数原理知，第二类中的四位奇数共有

N2＝3×3×2＝18(个)．

最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有N＝N1＋N2＝36(个)．

（4）按千位→百位→十位→个位的顺序接排，分别有3，4，3，2种不同的方法，由分步乘法计数原理知，共有3×4×3×2＝72个比2 000大的整数．

3．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报法种数是3还是4？

3

（2）3个班分别从5个风景点中选做一处游览，不同的选法种数是3还是5？

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当堂训练3个题是对课堂检测部分知识的强化与巩固，第1题增加了一点变化，在分类讨论中要剔除积重复的情况，第2题主要强化特殊位置，特殊元素优先原则，第3题选自书中习题，学生容易混淆题型．

【小结】（2分钟）

一个原则：化特殊位置，特殊元素优先原则；一种思想：分类讨论的思想．

【课后拓展】

1．一种号码锁有四个拨号盘，每个拨号盘上有0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能从0到5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？

解：号码可以为零且可以重复，则有10×10×10×6＝6000个

2．有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加．

(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？

(2)若需老师、男生、女生各一个参加，有多少种不同选法？

5 533434

(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？

解：(1)有三类选人的选法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男生中选一人，有8种方法；5名女生中选一人，有5种方法．

由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16(种)选法．

(2)分三步选人：

第一步选老师，有3种选法；

第二步选男生，有8种办法；

第三步选女生，有5种选法．

由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120(种)选法．

(3)法一：可分两类，每一类又分两步．

第一类：选一名老师、一名男生，有3×8＝24(种)选法；

第二类：选一名老师、一名女生，共有3×5＝15(种)选法．

再由分类加法计数原理，共有24＋15＝39(种)选法．

法二：可分两步选人：

第一步选老师，有3种选法；

第二步选学生，有8＋5＝13(种)选法．

由分步乘法计数原理知，共有3×13＝39(种)选法．

3．从1，2，3，4，5，6中每次选出两个不同的数分别作为分数的分子和分母，则可产生____22____个不同的分数．（分类讨论）

4．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法

[错解]

第一步，从会英语的7人中选一人，有7种选法；

第二步，从会日语的3人中选一人，有3种选法，

故共有7×3＝21(种)不同的选法．

[错因]

由题目条件可知，外语组共有9人，显然错解误认为会英语的7人，会日语的3人，共10人．而忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件，从而导致解题错误．由于该题中既会英语又会日语的有1人，而选不选该人对下一步都有影响，所以要进行分类：第一类他不当选；第二类按会英语当选；第三类按会日语当选．在每一类中，又要分两步，因此是先分类后分步问题．

[正解]

“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：①既会英语又会日语的不当选；②既会英语又会日语的按会英语当选；③既会英语又会日语的按会日语当选．

既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法；从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法；从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法．根据分类加法计数原理，共有6×2＋6×1＋2×1＝20(种)不同选法．

课后作业1、2题相对简单，强化双基，第4小题是课堂检测第2题的对应练习，也是学生的易错题，着重强化思想方法；第3题是主要考察学生的分类计数原理，本题要逐一比对有没有重复结果，部分学生会嫌该方法麻烦，出错的可能性会加大．

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