一 数学归纳法优质课教案整理

数学归纳法

【教学目标】

（1）知识与技能：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；

③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。

（2）过程与方法：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

【教学重点】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题；

【教学难点】

数学归纳法中递推关系的应用。

【辅助教学】

多媒体技术辅助课堂教学。

【教学过程】

一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）

（情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

问题2: 如果an是一个等差数列，怎样得到ana1n1d?

（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

二、搜索生活实例，激发学生兴趣

展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？

（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。）

①

第一块骨牌必须要倒下

②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下

相当于能推倒第一块骨牌

相当于第k块骨牌能推倒第k1块骨牌

三、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：

*（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0

n0N时命题成立；

*（2）（归纳递推）假设nk

k

n0 , kN时命题成立，证明当nk1命题也成立. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

四、讲练结合，巩固概念

类型一

用数学归纳法证明等式

222例1：用数学归纳法证明：123n2n(n1)(2n1)

6证明：（1）当n1时，左边：11，右边：21(11)(21)1，左边=右边，等式成立。

6

（2）假设当nk(kN*)时等式成立，

2222即123...kk(k1)(2k1) (kN*)

6*

则当nk1 kN时，



左边123

222k2k12kk12k12k1

6(k1)(k2)(2k3) =右边

6即当nk1时，等式也成立。

222*

由(1)，(2)得：对nN，等式123n2n(n1)(2n1)成立

6【方法技巧】证明中的几个注意问题：

（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）

（2）在第二步中,证明nk1命题成立时,必须用到nk命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真）

（3）明确变形目标（写明结论，才算完整）

变式训练：用数学归纳法证明：122334证明：

（1）当n1时，左边122，右边

（2）假设当nk时，等式成立，

即122334则当nk1时

1n(n1)n(n1)(n2)

311232，左边=右边，等式成立；

31kk1kk1k2，

3122334kk1k1k2

1kk1k2k1k2

31k1k1k2

31k1

k11k123所以nk1，公式成立，

由（1）（2）可知，当nN时，

公式122334类型二

归纳——猜想——证明

例2：已知数列*1n(n1)n(n1)(n2)成立.

3111,,,1447710,13n23n1,

Sn为该数列的前n项和，

计算S1,S2,S3,S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：S111182， S2S1

14447287S3S21213131404，

S4S3

7107010101310101313013n. 3n1111，猜想成立，

，右边43114根据上述结果，猜想Sn证明：（1）当n1时，左边S1*（2）假设当nk

kN时猜想成立，即

Sk111144771013k23k11k，

3k1那么，当nk1时，

Sk111114477103k23k11

3k123k11

k3k41k13k24k1

3k13k13k43k13k43k13k4k13k1k1k1，

3k13k43k43k11n

3n1

所以，nk1时，猜想成立，

*由（1）（2）可知，对于nN，猜想成立，即，nN,Sn【方法技巧】

“归纳—猜想—证明”的一般环节

学生总结

课件展示

框图呈现

变式训练：设a0,f(x)ax，令a11,an1f(an),nN，

ax

(1)写出a1,a2,a3，并猜想出数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论. 五、课堂小结

1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；

2.用数学归纳法证明等式：

①找准基础，奠基要稳。②用上假设，递推才真。③写明结论，才算完整

3.归纳——猜想——证明

六、当堂检测

1.用数学归纳法证明1222得的项为(

C

) A.1

B.12

C.122

D. 1222

2.用数学归纳法证明

2232n12n21(nN*)的过程中，在验证n1时，左端计算所(n1)(n2)（22k1）

(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为3.已知数列an的前n项和Snn2an (n2)，而a11，通过计算a2,a3,a4，猜想an( B

) A.2222

B.

C.

D.

2n12n1(n1)2n(n1)设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力.

拓展训练（延伸提高，课下思考）

1.用数学归纳法证明2n (n5,nN). 2.

求证：n211n1n215 (n2,nN*).

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