小结教学实录及点评

高中数学 选修2-3 第二章：2．2．3独立重复实验与二项分布

河南省辉县市第二高级中学 常志国

教学目标：

知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题

教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1

事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近n某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0P(A)1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形

5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件

6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1，这种事件叫等可能性事件

n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)m

n8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法

9.事件的和的意义:对于事件A和事件B是可以进行加法运算的

10

互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(AB)P(A)P(B)

一般地：如果事件A1,A2,彼此互斥

那么就说事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，,An

11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(AA)1P(A)1P(A)

12．互斥事件的概率的求法:如果事件A1,A2,,An彼此互斥，那么

P(A1A2An)＝P(A1)P(A2)P(An)

13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件

若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立

14．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)

一般地，如果事件A1,A2,事件发生的概率的积，P(A1A2,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个An)P(A1)P(A2)P(An)

二、讲解新课：

1 独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个kk事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)nk．

它是(1P)P展开式的第k1项

n3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kknk（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

Pn(k)Cnpq，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

0 00nCnpq

1 …

k …

n nn0Cnpq

P 11n1Cnpq

…

kknkCnpq

…

kknk由于Cnpq恰好是二项展开式

00n11n1kknknn0(qp)nCnpqCnpqCnpqCnpq

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，

kknk记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpq＝b(k；n，p)．

三、讲解范例：

例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在

10 次射击中，

(1)恰有

8 次击中目标的概率；

(2)至少有

8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)

解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) .

(1)在

10 次射击中，恰有

8 次击中目标的概率为

8P (X = 8 ) ＝C100.88(10.8)1080.30. (2)在

10 次射击中，至少有

8 次击中目标的概率为

P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )

8910C100.88(10.8)108C100.89(10.8)109C100.810(10.8)1010

0.68. 例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，

201P(ξ=0)=C2(95%)=0.9025，P(ξ=1)=C2(5%)(95%)=0.095，

22P(2)=C2(5%)=0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

ξ

0 1 0.095 2 0.0025 P 0.9025 例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．

解：依题意，随机变量ξ～B5,．

451615255141

∴P(ξ=4)=C5，P(ξ=5)=C5．

==7776777666613

3888例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：

∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4次准确的概率

解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率P5(4)C50.8(10.8)44540.840.41

答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41. （2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

44545PPC50.85(10.8)55 5(4)P5(5)P5(4)C50.8(10.8)0.840.850.4100.3280.74

答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．

例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1，求1小时内5台机床4中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）

解：记事件A＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验

1535441141(1)C(1)，

1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P55441小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)(1)()，

所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

P1P)0.37

5(0)P5(1答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．

点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法

例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？

解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n次

记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)0.25．

∵射击n次相当于n次独立重复试验，

n∴事件A至少发生1次的概率为P1Pn(0)10.75．

13n1n由题意，令10.750.75，∴()，∴n44.82，

344lg4∴n至少取5．

lg答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次

例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

113131651514919PC9()()C94()4()5C9()()C9()

22222221191923335990129(C9C94C9C9)()92(CCC)()(246)()

999222256k1k19kk19设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()C9()，

222k19k∴当k4或k5时，C9最大，即C9()最大，

2233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．

256例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢

3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

（2）按比赛规则甲获胜的概率．

解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为11，乙获胜的概率为．

22记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，

记事件C=“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

∴甲打完3局取胜的概率为P(A)C3()31231．

8②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负

∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)C3()2122113．

2216③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负

121213．

22216(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，

又因为事件A、B、C彼此互斥，

1331．

故P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)8161621答：按比赛规则甲获胜的概率为．

2∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)C4()()22∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为PC30.820.20.384，

答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384

四、课堂练习：

1．每次试验的成功率为p(0p1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）

3333(A)C10p(1p)7 (B)C10p(1p)3 (C)p3(1p)7 (D)p7(1p)3

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）

133A72A3(A)C0.70.3 (B)C0.70.3 (C) (D)

310A1031021323．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）

3112A3A32A2A3A2(A)13 (B)

33A5A5A5

332321()1()2

(C)1()3 (D)C32()2()C3555554．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）

323233323231()() (D)C4()()

(A)C32()3 (B)C32()2() (C)C4555355335．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）

6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．

7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为80，则此射手的81命中率为 ．

8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为1，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一3台处于停车的概率

9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：

⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；

⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率

10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为80，试求在一次试验中81事件A发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为1，求在第n次才击中目标的概率

3答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.046 2317.

8.（1）P53C533321124052（2）

PB1PB1C53243324325559.⑴C50.950.59049；

⑵C50.150.00001； ⑶P53C50.90.10.0729； ⑷PP54P550.91854

33210.(1)

P212n1 (2)

P()

333五、小结

：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生

2．如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)CnP(1P)kknk对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A要么发生，要么不发生，所以在n次独立重复试验中A恰好发生k次，则在另外的nk次中A没有发生，即A发生，由P(A)P，P(A)1P所以上面的公式恰为[(1P)P]展开n

式中的第k1项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系

六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页

习题

2. 2 B组2、3 七、板书设计（略）

八、课后记：

教学反思：

1. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

2. 能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

3. 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美

,体现数学的文化功能与人文价值。