小结精品学案

基本不等式

【考纲要求】

1.了解基本不等式abab的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”2ab解决最大（小）值问题. 2取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2.会用基本不等式ab3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

【知识网络】

重要不等式ab2ab

22基本不等式

基本不等式abab

2扩充不等式

绝对值不等式

最大（小）值问题

基本不等式的应用

柯西不等式

【考点梳理】

考点一：两个重要不等式及几何意义

1．重要不等式：

22如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取等号“=”）. 2．基本不等式：

abab（当且仅当ab时取等号“=”）. 2ab22ab两者的异同：

要点诠释：ab2ab和2如果a,b是正数，那么（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数；

（2）取等号“=”

的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab时取等号”。

ab2a2b2abab可以变形为：ab(). （3）ab2ab可以变形为：ab，222223.如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb，过点C作DCAB交圆于点D，连接AD、BD. 第1页

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2易证RtACD~RtDCB，那么CDCACB，即CDab. 这个圆的半径为时，等号成立. ababab，，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即ab22ab求最大（小）值

2要点二、用基本不等式ab在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①

一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②

二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③

三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

要点三、几个常见的不等式

（1）ab2ab（2）22a,bR，当且仅当a=b时取“=”号。

abab2ab2baa,bR，当且仅当a=b 时取“=”号。

（3）ab0；特别地：a12a0；

aa2b2ab2ab（4）

a,bR

ab22ab（5）ab

【典型例题】

类型一：基本不等式ab例题

114a,bR；

abab求最值问题（重点在于学会1的代换和处理带分母型不等式）

2(1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值；

求下列函数的最大（或最小）值. 1(x0)； x152 (2)y2x，(x0)

； x52(3) yx(52x)，(0x)

2（1）yx第2页

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(4) yx12x1，(x) ； 122(5)y2x100x，(0x10)

【解析】（1）∵x0

，∴x11，∴yx1当且仅当x11112(x1)()11

x1x11，即x0时取等号 x1∴x0时，ymin1 (2) ∵x0，∴y2x255555332x2332x2100

x2x2x2x2x2当且仅当2x(3) ∵0x2535即x3时，ymin3100. 2x245，∴52x0

22114x52x52x31103250)∴yx(52x)4x(52x)(52x)(

44342727当且仅当4x52x即x(4) ∵x∴yx5250时，ymax. 6271，∴2x10

21111[2x1]

2x122x12x121 31113(2x1)2

22x12x1212x1

即x1时，ymin2. 当且仅当

2x12(5) ∵0x10，∴100x0

22222∴y2x100x2x(100x)x100x100

当且仅当x100x即x52时，ymax100

已知x0,y0,且22191，求xy的最小值. xy第3页

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【解析】方法一：19x0,y0,且1

xy∴xy(19y9x)(xy)10102316

xyxy（当且仅当y9x即x4,y12时等号成立）. xy∴xy的最小值是16. 方法二：由y19，

1，得xxyy9∵x0,y0，∴y9

∴xyy999y1y(y9)102(y9)1016

y9y9y9y99,即y12时取等号，此时x4. y9当且仅当y9∴xy的最小值是16. 方法三：由191得y9xxy，∴(x1)(y9)9

xy∴xy10(x1)(y9)102(x1)(y9)10616.

x1y9x4当且仅当19时取等号，

即1y12xy∴xy的最小值是16. 类型二：利用基本不等式证明不等式

例2.已知0a1，0b1，0c1，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个小于等于1. 4111,1bc,1ca 则有

4443 1ab1bc1ca 〔＊〕

2证明：假设

1ab 又∵1ab1bc1ca

1ab1bc1ca3与〔＊〕矛盾

2222举一反三：

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【变式1】已知a、b、c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc

【解析】∵a、b、c都是正数

∴ab2ab0

（当且仅当ab时，取等号） bc2bc0

（当且仅当bc时，取等号）

ca2ca0

（当且仅当ca时，取等号） ∴(ab)(bc)(ca)2ab2bc2ca8abc（当且仅当abc时，取等号）

即(ab)(bc)(ca)8abc. 【变式2】已知x、y都是正数，求证：yx2。

xy【解析】∵x、y都是正数

，∴yx0，0，

xy∴yxxyxy22（当且仅当即xy时,等号成立）

xyyxyx故yx2. xy类型三：基本不等式在实际问题中的应用

例4.

某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为8m. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 2

【解析】由题意可得xy1xx8，

22x2848x(0x42)。

∴yxx4于是，框架用料长度为l2x2y22x

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3163(2)x216(2)4642。

2x2当(2)x3216，即xx4322842时等号成立。

此时，x2.343，y222.828。

故当x约为2.343 m，y约为2.828 m时用料最省。

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