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新课标A版·数学·必修5

高中同步学习方略

双基限时练(二十一) x＋y－3≥0，1．设z＝x－y，式中变量x，y满足条件则z的x－2y≥0.

最小值为(

) A．1

C．－1

B．0 D．－2

解析

作出可行域，如图所示．

x＋y－3＝0，解方程组

x＝2y，

得交点A(2,1)．

当直线x－y＝0平移过点A(2,1)时，z有最小值1. 答案

A x＋y≥3，2．设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，2x－y≤3，＋3y的最小值为(

) A．6

C．8

B．7 D．23

则目标函数z＝2x解析

不等式表示的平面区域如图所示．

1

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x＋y＝3，当z＝2x＋3y过点A时取得最小值，联立方程组取2x－y＝3，

得A(2,1)．将点A坐标代入z＝2x＋3y中得zmin＝7. 答案

B 2x＋y≥4，3．设x，y满足x－y≥－1，x－2y≤2，A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最小值

D．既无最小值，也无最大值

解析

如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，2x＋y＝4，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立x－2y＝2，

则z＝x＋y(

)

解得A(2,0)．

z最小值＝2，z无最大值．

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答案

B 4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、

B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是(

) A．12万元

C．25万元

B．20万元

D．27万元

解析

设该企业在一个生产周期内生产甲产品x吨，乙产品y吨，获得利润z万元，则依题意，有

2x＋3y≤18，x≥0，y≥0，3x＋y≤13，

目标函数z＝5x＋3y，画出不等式组表示的平面区域及直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0经过点(3,4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D. 答案

D 5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备

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每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．

解析

设租赁甲、乙两种设备x，y台，则5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x≥0，y≥0，x，y∈Z.

目标函数z＝200x＋300y，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300. 答案

2300 6．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________. 货物

甲

乙

托运限制

体积(m3/箱)

重量(50 kg/箱)

利润(百元/箱) 5

4

24

2

5

13

20 10

解析

设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则

4

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2x＋5y≤13，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.5x＋4y≤24，

目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．

2x＋5y＝13，由得A(4,1)．

5x＋4y＝24，易知当直线2x＋y＝0平移经过点A时，z取得最大值．

答案

4,1 7．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小) 解

设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意

*x，y∈N，3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，

钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．

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由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．

3x＋6y＝45，x＝5，由方程组得

5x＋6y＝55，y＝5.

所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．

8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？

解

设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据．

车辆数

运物吨数

费用

A型车

x 24x 320x B型车

y 30y 504y x＋y≤10，限量

10 180 z

24x＋30y≥180，由表可知x，y满足的线性条件0≤x≤8，0≤y≤4，x，y∈N，且z＝320x＋504y.

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作出线性区域，如图所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(5,2)是最优解．这时zmin＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．

若只用A型车，成本费为8×320＝2560(元)，

180只用B型车，成本费为30×504＝3024(元)．

9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对2项目甲的投资不小于对项目乙的投资的3，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？

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解

设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，共可获利z万元，则z＝0.4x＋0.6y.

y≥5，由题意知2x≥3y，x＋y≤60.作出可行域如图，

x≥5，

由图可以看出，当直线经过可行域上的点A(24,36)时，z取得最大值．

z＝0.4x＋0.6y＝0.4×24＋0.6×36＝31.2. 即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．

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