2.2.2 反证法教学实录与评析

教学设计（人教A版） 仁寿一中南校区高2017级数学组

黄剑刚

反证法教学设计

[学习目标] 1、

知识与技能：理解反证的概念，掌握反证法证题的步骤。

2、

过程与方法：通过反证的学习，体会直接证明和间接证明之间的辩证关系。

3、

情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，学会逆向思维，认识数学的科学价值。

[重点]

反证法的概念，一般步骤

[难点]

正确否定原结论及矛盾焦点的选择

[教法]

启发引导式教学法

[学法]

小组讨论合作探究法

[学习过程] 一、

复习引入

除了极少数的原始命题，不需要证明而公认其为真命题（我们称之为公理）之外，绝大多数命题必须经过合乎逻辑的证明才能判断是否成立。那么，如何去证明一个命题就值得研究了。例如两点确定一条直线(公理)；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(定理)；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(定理)。

二、

案例分析：

（1）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？

（2）桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上，你能解释这种现象吗？

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黄剑刚

例1：若成立. 都是正数，且,求证：和中至少有一个

，且两式相加，得即

，

，这与已知矛盾，故

三、

概念形成及深化：

1、

反证法的定义：

反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行推理，引出矛盾，于是认可否定的结论不成立，则原结论当然正确。这种方法称为反证法。

2、

反证法证明步骤：

（1）

反设：假定命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，这个假设叫做“反面假设”；

（2）

归谬：由反证假设出发，运用已知条件，进行正确推理，导致矛盾；

（3）

肯定：由所得矛盾，断定反证假设不成立，从而肯定结论成立。

其中第（2）步是关键，主要寻找以下矛盾：

①与反证假设相矛盾

②与已知条件相矛盾

③与已知事实、定义、公理、定理相矛盾

④自相矛盾

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黄剑刚

典型例题

例1. 如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，

求证：AB、CD

不能互相平分

A

B

C

D

例2.

求证2是无理数

例3．求证素数有无穷多个

证明：（反证法）假设素数仅是有限个，由小到大排列如下：2,3,5,……,P。

为了推翻这个假设，举出一个反例，即构造一个新数N=2,3,5,…,P+1 (1)如果N是素数，那么N>P,这与反证假设矛盾。

(2)如果N是合数，由2,3,5,……,P都不能整除N，这就推出合数N在2,3,5,……,P这些素数之外还有新素数是它的约数，这也与反证假设矛盾。

由（1）（2）可知素数有无穷多个。

[评注]

本例是运用反证法进行证明的绝妙之例，其证明的关键是举出反例N=2,3,5,…,P+1，因此本例也是举反例进行证明的绝妙之例。

例4：在△ABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b,且∠C≠90O。

求证： a2+b2≠c2 假设a2+b2=c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C=90O，这与已知条件∠C≠90O产生矛盾，因此假设a2+b2=c2是错误的。所以a2+b2≠c2是正确的。

[评注] 有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。

通过例2、例3体会反证法的含义及思路，归纳反证法的步骤：

（1）反设 （2）归谬 （3）肯定

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黄剑刚

四、

课堂练习：

1、

否定下列命题的结论：

（1）设直线a,b,c在同一平面上，如果a∥b,b∥c,那么a∥b.（2）△ABC中，至少有两个角是锐角。

（3）△ABC中，至少有一个内角小于或等于60O

（4）在△ABC中，至多有一个直角

（5）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

2、用反证法证明：如果ab0，那么ab

五、

课堂小结（学习体会）

通过本节的学习，同学们体会了证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种 （填间接或直接）证明命题的方法，反证法证题词的基本步骤是 、 、 （用六个字概括）；

希望同学能恰当地运用这种方法证明一些简单的命题。

反证法的优点： 。

六、

布置作业

1、

求证是无理数.

2、

证明过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（存在唯一性命题）

板 书 设 计

一、

复习引入

2、矛盾问题

五、课堂练习

实例分析

四、典型例题

六、课堂小结

二、

概念形成及深化

七、布置作业

三、1、反证法定义