探究与发现 组合数的两个性质优质教案设计

1.2.2组合与组合数公式

一、教学目标：

1．知识与技能目标：理解组合的意义，明确组合和排列的区别和联系；

2．过程与方法目标：在解决实际问题的过程中，感受排列和组合的实际意义；

3．情感态度价值观目标：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题能力。

二、教学过程：

1、复习、引入：

1．复习排列的有关内容：[来源:Z|xx|k.Com]

2．提出问题：

母亲节活动

1：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

2：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引出课题：组合问题．

．．2、新授：

组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性

3．相同组合：元素相同[来源:学科网ZXXK]

练习

判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴

从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵

从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）

组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中m取出m个元素的组合数．用符号Cn表示．

2

例如：问题

2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有C33种组合．

又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：C46

（在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，

关键是看是否与顺序有关．）[来源:学#科#网Z#X#X#K]

2

1

m

那么又如何计算Cn呢？[来源:学§科§网Z§X§X§K]

组合数公式的推导：

3⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？

3启发：

由于排列可以看成先组合后排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4

可以求得，33故我们可以考察一下C4和A4的关系，如下：

组

合

排列

abcabc,bac,cab,dab,dac,dbc,acb,adb,adc,bdc,bca,bda,cda,cdb,cbadba

dcadcb

abdacdbcdabd,bad,acd,cad,bcd,cbd,

由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4，可以分如下两步：①

考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C4个；②

对每3333一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A3种方法．由分步计数原理得：A4＝C4，所以：A3333A4C3．

A334m⑵

推广：

一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：①

先求从nmm个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；②

求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分mmm步计数原理得：An＝Cn

Am⑶

组合数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1)Cmm!Ammn

或

Cn巩固练习：

mn!

(n,mN,且mn)

m!(nm)!471．计算：⑴

C7 ⑵

C10

m

2．求证：Cnm1m1Cn

nmx12x3

3．设xN,

求C2x3Cx1的值．

2

例题讲评

例1．

6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

学生练习：（课本99练习）

课堂小结：

解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．

课后作业：对应作业本的练习。

3