二 用数学归纳法证明不等式优质课教案

第四讲

数学归纳法证明不等式

1．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．

2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：

(1＋x)n＞1＋nx(x＞－1，x≠0，n为正整数)．

了解当n为实数时贝努利不等式也成立．

数学归纳法是重要的数学思想方法，同学们应通过对一些简单问题的分析，掌握这种思想方法．在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换．不要做那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解．

注意数学归纳法一般步骤的要求，严格按要求表达．两个步骤一个结论都要认真写好．

4．1

数学归纳法

[来源:Z,xx,k.Com]

1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．

2．会用数学归纳法证明一些简单问题．

3．掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论．

1．数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在________时成立，这是递推的基础；第二步是假设在________时命题成立，再证明________时命题也成立，这是递推的依据．实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识．

答案: n＝n0(n0∈N*)

n＝k(k≥n0，k∈N*)

n＝k＋1

2．从试验、观察出发，用不完全归纳法作出________，再用数学归纳法进行________，这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值→猜想→证明)．

答案:

归纳猜想

严格证明

8·18·n思考

已知数列2，…，，….Sn为1·32（2n－1）2·（2n＋1）2其前n项和，求S1，S2，S3，S4，推测Sn公式．

8244880解析：计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，推测Sn＝9254981（2n＋1）2－1*2(n∈N)．

（2n＋1）

一层练习

1．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成(

)

A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1) B．6k(k＋1)(2k＋1) C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2

D．以上都不对

答案:

C

2．下列四个判断中，正确的是(

) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)当n＝1时恒为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)当n＝1时恒为1＋k

111111C．式子＋＋＋…＋(n∈N*)当n＝1时恒为1＋＋

123232n＋1111D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)n＋1n＋23n＋1111＋＋＋

3k＋23k＋33k＋4答案: C

3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有(

) A．正整数n成立

B．正偶数n成立

C．正奇数n成立

D．大于1的自然数n成立

答案: B

1114．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋n23f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，且n≥2)第一步要证明的式子是____________．

答案: 2＋f(1)＝2f(2)

二层练习

5．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证(

)

A．当n＝1时成立

B．当n＝2时成立

C．当n＝3时成立

D．当n＝4时成立

解析：多边形至少有三条边．

答案：C

6．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(

) π3A.

B．π

C.π

D．2π

22答案：B

n＋21－a7．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝，a≠1，n1－a∈N*”，在验证n＝1成立时，左边计算所得项是(

) A．1

B．1＋a

C．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3

答案：C[来源:学科网ZXXK]

8．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(

) A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

答案：C[来源:Z&xx&k.Com]

1119．已知f(n)＝＋＋…＋，则f(k＋1)等于(

) n＋1n＋23n＋1A．f(k)＋1

3（k＋1）＋11B．f(k)＋

3k＋2C．f(k)＋1111＋＋－

3k＋23k＋33k＋4k＋111D．f(k)＋－

3k＋4k＋1解析：f(k)＝11111＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…k＋1k＋23k＋1k＋2k＋3111111＋＋＋＋，∴f(k＋1)＝f(k)＋＋＋3k＋13k＋23k＋33k＋43k＋23k＋311－.

3k＋4k＋1答案：C

10．用数学归纳法证明：对任何正整数n有：

11111n＋＋＋＋…＋2＝.31535634n－12n＋1[来源:学。科。网Z。X。X。K]

111证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝＝，故左边＝32×1＋13右边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即

11111k＋＋＋＋…＋2＝

31535634k－12k＋1

那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有：[来源:学科网ZXXK]

111111k＋＋＋＋…＋2＋＝＋31535634k－14（k＋1）2－12k＋114（k＋1）2－1＝k2k＋1＋1（2k＋1）（2k＋3）＝k（2k＋3）＋12k2＋3k＋1（2k＋1）（k＋1）＝＝（2k＋1）（2k＋3）（2k＋1）（2k＋3）（2k＋1）（2k＋3）k＋1＝.

2（k＋1）＋1所以当n＝k＋1时等式也成立．

综合(1)、(2)知，对任何正整数n，等式成立．

三层练习

111111．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)2nn＋1n＋2n＋3－f(n)等于(

) 11A.

B.

2n＋12n＋21111C.＋

D.－

2n＋12n＋22n＋12n＋211111解析：∵f(n)＝＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…2nn＋1n＋2n＋2n＋3111＋＋＋，

2n2n＋12n＋211111∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.

2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2

答案：D

12．观察下列等式：

12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …

照此规律，第n个等式可为

________________________________．

答案: 12－22＋32－…＋(－1)

13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三n（n＋1）121角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n＋n.222记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

121三角形数

N(n，3)＝n＋n

22正方形数

N(n，4)＝n2

321五边形数

N(n，5)＝n－n

22六边形数

N(n，6)＝2n2－n

……

n－1n＋1（－1）n2＝n(n＋1) 2

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝______．

解析：先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，N(n，k)的表达式，然后再将n＝10，k＝24代入，计算N(10，24)的值．

由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数kk时，N(n，k)＝2－1n2－2－2n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.

答案：1 000

14．已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是an＝3n－1、bn＝2n，n∈N*，记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，用数学归纳法证明：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．

证明：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；

(2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：

Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋2(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)＝ak＋1b1＋2Tk＝ak＋1b1＋2(－2ak＋10bk－12)＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12.

即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．

由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．

1．学习完全归纳法与不完全归纳法，要注意他们的区别与联系：

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，由完全归纳法得出的结论是正确的，由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的，但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段．

2．数学中有很多涉及正整数的命题，由于正整数有无穷多个，因而不可能对所有的正整数一一加以验证．如果只对部分正整数加以验证，结论又不一定正确．数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数n0，如果当n＝n0时命题成立(这是基础，是出发点)．再假设当n＝k(k≥n0，k为正整数)时命题正确，根据这个假设，如果能推出n＝k＋1时命题也成立(这是递推的依据)，那么就可以推出对于所有不小于n0的正整数n0＋1，n0＋2，…，命题都正确了．

3．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．

(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．

(2)证明了第二步，就获得了递推的依据．第二步中，在推证之前，命题对n＝k是否成立是不清楚的，因此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对n＝k的正确性可以传递到n＝k＋1的情况，有了这一步，再由第一步知命题对n0成立，就可以知道命题对于n0＋1也成立，进而再由第二步可知命题对于n＝(n0＋1)＋1＝n0＋2也成立，…，这样递推下去，可以知道命题对于一切不小于n0的正整数都成立．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k＋1时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定

义加以证明．

完成一、二两步后，最后要对命题做一个总的结论．