1.3 二项式定理（通用）名师教学视频（文字实录）

课

题：

二项式定理

授课者：林添丁

授课班级K二六

教学目的：

1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式. 2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题. 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习 教学过程：

一、复习引入：

⑴(ab)2a22abb2C021222aC2abC2b；

⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C0a3C1a2bC2ab2C3b33333

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C0404种，a的系数是C4；恰有1个取b的情况有C131b的情况有C22224种，ab的系数是C4，恰有2个取4种，ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C3种，ab3的系数是C3，有4都取b的情况有C44444种，b的系数是C44，

∴(ab)4C041322233444aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

二项式定理：

abnC0n1n1CknkknnnaCnabnabCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，

an1b，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即C0n0n种，a的系数是Cn；

恰有1个取b的情况有C1n1n种，ab的系数是C1n，……，

恰有r个取b的情况有Cknkn种，abk的系数是Ckn，……，

有n都取b的情况有Cnnnn种，b的系数是Cn，

∴abnC0n1n1knkknnnaCnabCnabCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，

⑶它有n1项，各项的系数Cknk0,1,2,3，叫二项式系数，

⑷Cknkkknkknab叫二项展开式的通项，用Tk1表示，即通项．Tk1Cnab

⑸二项式定理中，设a1,bx，则1xn1C1kknxCnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(11)4．解一：

(11)41C11112313144xx4(x)C4(x)C4(x)(x)1x641x2x3x4．解二：(11414414413124641x)(x)(x1)(x)xC4xC4xC34x11xx2x3x4．

例2．展开(2x16x)．

解：(2x1)616xx3(2x1)

1615x3[(2x)C6(2x)C26(2x)4C36(2x)3C26(2x)2C16(2x)1]

64x3192x2240x16060121xx2x3．

例3．（1）求12x7的展开式的第4项的系数。

9（2）求13xx的展开式中x的系数。

解：（1）T33331C7172x280x3

k（2）Tk9kk1C9x1kk92kxC91x

依题得：92k3 解得：k3 x3的系数是：13C39=-84

例4．（1）求(x33x)9的展开式常数项；

（2）求(x33x)9的展开式的中间两项

解：∵Trx9r3rr2r993rr1C9(3)(x)C93x2，

∴（1）当932r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T67C9332268；（2）(x3x)93的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

TC438959x91242xT53109x91523，6C9378x3 四、课堂练习：

1.做书P31的练习

2.求2a3b6的展开式的第3项. 3.写出(3x123x)n的展开式的第r+1项. 4.求x32x7的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 答案：2.

T26221C6(2a)(3b)22160a4b2

3.

Tr3nr(11rn2rrrr1Cn(x)323x)2Cnx

4.展开式的第4项的二项式系数C3，第4项的系数C3373572280

五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：P34

2.题

4 题

七、板书设计（略）

八、课后记：