小结优秀教案

不等式小结《不等式恒成立问题》

一、

教学目标：

（1）

知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。

（2）

能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。

（3）

情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。

二、

教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。

三、

教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。

四、

教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。

五、

教具准备：多媒体课件

六、

教学过程：

高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。

12例1.若不等式xax1≥0对于一切xx(0,]成立，

2则a的最小值为 （ ）

A.0 B.-25

C.- D.-3211由x(0,]，a≥(x).

法一:不等式可化为ax≥-x21，

(x15115)在(0,]上是减函数,(x)maxa≥-x2x22a.22x2

法二：令f(x)xax1,对称轴为x①

xa2o y 1x 2a≤02a≥0f(0)≥0

②

③

o o y xy y a212x a1≥221a0f(1)≥02a10225≤a≤-1a2f()≥02a2

a2法三：验证法：令f(x)xax1,对称轴为x.21

2当a=0时，f(x)x1≥0在（0,]恒成立。212当a2时，f(x)x22x1（x1）在（0,]恒成立。

25551当a时，f(x)x2x1，对称轴x，（0,]是f(x)的减区间，

224211f()0，故f(x)≥0在（0,]恒成立。

2231当a3时，f(x)x23x1，对称轴x，（0,]是f(x)的减区间，

22111f()0,故在（0,]上f(x)≥0不恒成立。

242x12x 5综上①②③，a≥-2小结：法一利用参变量分离法，化成a>f(x)(afmax(x)(a

法二化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。

法三特值验证法，此法抓住本题是选择题的特征，显得较为简便。

2练习1：若不等式x2mx2m10对满足x[0,1]

的所有实数x都成立，求m的取值范围。答案：m例2.若不等式2x1m(x21)对满足2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。

2法一：令f(m)(x-1)m-(2x-1)0(1 2≤m≤2)

12

f(2)02x22x301713

由题可知：2x.22f(2)02x2x10

法二：令f(m)(x2-1)m-(2x-1)0(2≤m≤2)①当x2-1=0时，即x=1，经验证，只有x=1适合。

x2-10x2-101713②③综上①②③，可得：x.f(2)0

f(2)022

练习2：对于一切|p|≤2，pR，不等式x2px12xp恒成立，则实数x答案：x1或x3的取值范围是（ ）小结：本题利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于m的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围。

通过以上两题，大家总结一下参变量转换法和参变量分离法的异同，各在什么情况下运用？

课堂练习：（1）当|x|≤2，*式恒成立，求实数m的取值范围；（*式恒成立，求实数x的取值范围。

2）当|m|≤2，

1.对于不等式1mx2m1x30...........(*)

（1）分析：令f(x)=1mx2m1x3,|x|≤2,①当1m0时，即m1，*式成立，故m1适合(*)1②当1m0时，即m1,对称轴x=，?*式在x[2,2]时恒成立的充要条件2为：

(m1)2121m0，解得:11m11③当1m0时，即m1,对称轴x=，*式在x[2,2]时恒成立的充要条件23为：f(-2)=(1m)(2)2(m1)230，解得：1m23综上①②③可知:适合条件的m的范围是:11m。222

（2）分析：令f(m)=（-x+x）m+(x-x+3),m[2,2]f(2)3x23x30113113x。则f(m)0恒成立2

22f(2)xx30

2.已知函数f(x)x22ax4在区间[1,3]上都不小于2，求a的值。

3、如果kx22kx(k2)0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）

4.设实数x,y满足x2(y1)21，且xyc≥0恒成立，c的2 取值范围是( )

5.如果对任意实数x，不等式x1≥kx恒成立，则实数k的

取值范围是( )6.已知不等式(m2)x22(m2)x40的解集为R，则m的7.设a0，b0，且不等式最小值等于（ ）参考答案：

3.1k≤0

取值范围( )

11k≥0恒成立，则实数k的abab4.c≥215.0≤k≤16.2≤m67.4七、

课时小结与作业：

1、通过参变量分离法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。

2、化归二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。

3、通过参变量转换法化成一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。

4、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理，或者化成f(x) -g(x) ≥0再处理。

作业练习：已知mR，求函数f(x)(43m)x22xm在区间[0，1]上的

最大值。八、

板书设计：

1、基本知识：

2、例题讲解：

3练习与作业：

3