1.3 二项式定理（通用）教学设计与反思

人教版高二年级数学选修2-3

1.3.1二项式定理（1）的教学设计

李

林

平

罗

中

学

1

1.3.1二项式定理(第一课时)教学设计

一、设计思路

本节课的设计采用了尝试法教学模式设计，是在遵循学生的认识规律以学生为主体教师为主导的教学指导思想下设计的。即在教学中通过设疑---尝试（探究）---归纳---评价四个主要环节，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以二项式定理的发现为基本探究内容，由特殊到一般在师生互动过程中实现教学目标。教学中注重提出问题，引导学生发现问题的尝试过程；注重培养学生多角度地思考问题，培养学生迁移类推能力和归纳能力，重视知识的发生、发展、和形成的全过程，贯穿了新课程教学理念。设计思路如下：

创设情境

设疑激趣

尝试探究

提出猜想

深入思考

证明猜想

简单应用

总结评估

二、教材分析

二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的重要数学知识。

在刚刚学完计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为紧接着学习下一章随机变量及其分布做准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。因此，在这里学习二项式定理具有承上启下的作用。

《高中数学课程标准》对二项式定理的教学要求是：能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 本节课是二项式定理的第一课时，根据学科教学指导建议，要在用计数原理分析(ab)2展

2

开式的基础上,采用合情推理得出二项式定理的猜想,并用计数原理给出证明,掌握二项展开式的基本特征。其中，在用两个计数原理探究(ab)2，(ab)3，(ab)4的展开式的基础上得出(ab)n的展开式的猜想的过程是贯彻新课程理念的重要体现，在这个环节上应给学生更多的时间，让他们通过自主探究、合作交流、大胆猜想，亲身体验数学规律的发现，培养学生不畏艰辛、勇于探索的创造精神，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

三、学情分析

是学生熟悉的。这里在(ab)2的展开式在初中已通过多项式的乘法得出，学生刚刚学完两个计数原理后从计数原理的角度分析(ab)2的展开式，学生会有困难。主要是具体目标不够清楚，不知道怎样建立起二者的联系。教师应引导学生详细写出用多项式乘法法则得到展开式的过程，明确要完成的“一件事”是什么和如何完成这件事。这个问题清楚了，仿照这个方法分析(ab)3，(ab)4的展开式并猜想(ab)的展开式经过学生思考与讨论是能够完成的。可n能会有学生是对(ab)n中n取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出猜想，这也是要充分肯定和鼓励的。另外本节在在证明二项式定理上采用了“叙述说理”的方法，这与学生熟悉的证明方法不一样，学生会感到不习惯，甚至是“别扭”，自己不知道怎样表达，教师要给以示范，并说明这也是一个严格的证明。

四、教学目标

1.知识与技能

(1)在用计数原理分析(ab)2展开式的基础上,得出二项式定理；

(2)能用计数原理证明二项式定理；

(3)掌握二项式定理及二项展开式的通项公式.

3

2.过程与方法

通过二项式定理的发现过程，培养学生观察、分析、概括问题的能力，感受“归纳---猜想---证明”的科学研究问题的思路和方法。

3.情感态度与价值观

(1)通过学生自主参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的信心和兴趣；

(2)通过二项式定理的学习，使学生感受数学的对称美、和谐美与符号应用的简洁美。

五、教学重点与难点

重点：用计数原理分析(ab)2的展开式，得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

六、教学策略与手段

本节课主要采用自主探究式的尝试法教学模式，教学过程中贯彻启发式教学原则，在教师的启发引导下，以学生的自主学习与合作交流为主，通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试探究活动展开教学。

为了有效提高课堂效率，需要运用多媒体信息技术手段以支持。教学中学生尝试探究的结果，以及冗长复杂的定理等用实物投影仪和幻灯片展示。

七、教学情境设计

（一）创设情境，设疑激趣

问题

设计意图

师生活动

（1）提出课题，简

提出课题，回顾

教师提出课题：述讨论的思想方法。相关知识。

4 二项式定理是研究

(ab)2的展开式是怎(ab)n的展开式问题。样的？

先从简单的(ab)2的展开式开始。并引导学生关注展开的两个步骤：用乘法法则展开；合并同类项。

（2）用乘法法则展

引导学生将

教师提醒学生:用开(ab)2，合并同类项(ab)2的展开式与两计数原理分析展开式之前展开式有多少个计数原理联系起的项数，应当分析项项？你能用两个计数来。

原理加以分析吗？

（二）尝试探究，提出猜想

问题

设计意图

师生活动

中的字母是如何取的。

（3）(ab)2展开式

引导学生用计数

教师引导学生分中同类项的形式是怎原理分析同类项的个析展开式中同类项的得到(ab)2展开式形式；每一种类型的样的？每一类型的项数，的个数怎样计算？

的系数。

项的个数。教师提醒学生注意将项的形式k归结为a2kb（k=0,1,2）对分析展开式的意义。

这是教学难点。

（4）你能仿照上述

巩固已有思想方

学生独立完成，

5

过程，推导一下法，建立猜想二项式并请学生自己讲解过(ab)3,(ab)4的展开定理的认知基础。

程。

式吗？

（5）你能猜想一下

让学生成为发现(ab)n的展开式吗？

让学生认真思者，成为创造者！激考，合作交流，大胆发学习兴趣。

猜想，自由表达。

（三）深入思考，证明猜想

问题

设计意图

师生活动

（6）猜想是否正

证明二项式定

先由学生独立完确？你能给以证明理，感受“归纳---猜成，然后组织全班讨吗?

想---证明”的科学研论。在讨论过程中要究问题的思路和方明确每一项的形式及法，分析二项展开式相应的个数。

的特征。

（四）简单应用，总结评估

问题

例1

6设计意图

师生活动

熟悉二项展开

教师引导学生独1式，培养运算能力，立完成，可以让学生2x求的x养成认真细心的习对“直接展开”和“化惯。

展开式

简后展开”进行对比。

例2

熟悉二项展开式

教师引导学生明（1）

求(12x)7的展的通项公式

，区分二确思路后，让学生独开式的第四项项式系数与项的系立完成，看谁计算又

6

的系数；

1（2）

求x的展x3x开式中的系9数

。

快又准。

数。

（7）小结：

二项式定理的探索思路:

怎样用计数原理分析展开式?你认为其中的关键是什么？

二项式定理的表达式以及展开式的通项的特点；

要正确区别“项的系数”和“二项式系数”。

概括思想方法，

先让学生自己总养成及时总结的习结、表述，教师再补惯。

充。特别注意，用计数原理分析展开式，实际上是对“如何得到展开式的项ankbk”进行分析，这实际上就是计数原理中的“一件事”。

八、目标检测

1．写出pq7的展开式。

[熟悉二项展开式] 2．求2a3b6的展开式的第3项。

[熟悉二项展开式的通项公式] 13．求x展开式的中间项

x2n[熟悉二项展开式及二项展开式的通项公式，增加思维深度]

7

1n12n2n14．求值：(1)4nCn4Cn4Cn41=____________

12n(2)12Cn=______________ 22Cn(2)nCn[逆用二项式定理，提高灵活性]

拓展思考题：求(a2bc)5的展开式中项a2b2c的系数是多少？

[培养学生化归意识和知识迁移的能力。]

九、板书设计

1.3.1二项式定理

探究(ab)2的展开式

二项式定理的猜想

探究(ab)3，(ab)4的展开式

证明

特征分析

(1x)n......

例1 例2 十、课后反思

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