信息技术应用 估计√2的值优秀教案

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计

一、教材与教学分析

1．数列在教材中的地位

根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．

2．教学任务分析

(1)了解数列的概念

新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．

(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．

3．教学重点与难点

重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．

难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系

二、教学方法

小组合作、探究学习模式

通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。

三、学习过程设计

【问题情境】

1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；

2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；

3．童谣：一只青蛙，一张嘴

，两只眼睛，四条腿；

两只青蛙，两张嘴

，四只眼睛，八条腿；

三只青蛙，三张嘴

，六只眼睛，十二条腿；

4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数

。

教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？

学生：

1：1,2,22,23,12一列数：1，2,263 31，2221，241，，25

3：

青蛙

嘴

1 2 3 4 1 2 3 4 眼睛

腿

2 4 6 8 4 8 12 16 第

1 页

共

6 页

…

…

…

…

4：15，5，16，16，28，32

设计说明：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”

活动一：数列的概念探究

教师：以上几列数的共同特点是什么？

引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：

1.

数列的定义；

2.

数列的项；

3.

数列的一般形式

a1,a2,a3,,an,简记为an（板书）

活动二：数列和集合的关系

教师：将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别？

学生：发现问题4的一列数写成集合后，集合中的元素只有一个16 教师：经过以上研究，同学们能否说说数列中的项和集合中的元素有何区别呢？

学生思考并作答。

集合和数列的区别是：

第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。

第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。

如上面所讲的数列

1，1，2，2，3，3，4，4，…

是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成

｛1，2，3，4，…｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，…｝。

第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。例如，数列

1，2，3，4 与数列 4，3，2，1

是两个不同的数列。可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。

活动三：数列的分类

根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？

第

2 页

共

6 页

教师引导学生分析本节课所举的数列的特点，按一定的分类标准给出数列的分类：

按项数，可分为有穷数列和无穷数列；

按项之间的大小关系（单调性）可分为，递增数列，递减数列，常数列，以及摆动数列。（板书）

【拓展延伸】数列与函数的关系

展示以下数列：

①4，5，6，7，8，9，10． ②1，1，1，1，1，…. 2345③1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ④1，1.4，1.41，1.414，…. ⑤-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑥2，2，2，2，2，…. 教师：观察以上数列，请同学们思考：数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？

教师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 1 1213141

5↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5 教师：看来，这个数的每一项与这一项的序号可用一个公式：an1来表示其n对应关系

即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项

学生：结合上述其他例子，练习找其对应关系

如：数列①：an=n+3(1≤n≤7) 数列③：an1(n≥1）

n110数列⑤：an(1)nn≥1）

通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

教师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集1,2,,n的函数，N+（或它的有限子集当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

第

3 页

共

6 页

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。下面同学们练习画数列①②的图象

【应用提升】

1．根据下面数列的通项公式，写出前5项。

n(1)an; (2)an(1)nn;

n1解：（1）n1,2,3,4,5.a11;a22;a33;a44;a55;

23456 (2)

n1,2,3,4,5.a11;a22;a33;a44;a55;

22．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1） 1，3，5，7； 22222131415（2）;,;1;

2345（3）1,1,1,1,

12233445教师引导学生去思考，让学生来完成例题解答。

分析：

（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 ∴an2n1；

（2）序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 2222项分子： 2-1 3-1 4-1 5-1 (n1)2n∴an；

n1 1 3 3 4（3）序号

   

111112233445 ‖ ‖ ‖ ‖

1111 (1)1

(1)2

(1)2(1)31(11)2(21)3(31)2(21)∴an(1)n1

n(n1)教师：怎样写出已知数列的通项公式？基本思路是什么？

引导学生归纳以下思路：

根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归纳出项与项数的关系，写出通项公式. 活动四：生生互动

教师：怎样从实际生活中，依据一定的规律抽象出一些数列？

第

4 页

共

6 页

每位学生写四个数作为一个数列的前四项，请同桌写出这个数列的一个通项公式。

思考：出题者是依据什么规律写出这四个数的？你能够说出他的意图吗？

【课堂小结】

教师：本节课学习了那些知识？这些知识的研究途径是什么？

1．数列的有关概念

2．数列的分类

3．数列函数性定义

数列的通项公式（投影）

教师：小结概括了这节课的主要内容,使学生对这节课有个全面认识。

【任务后延】

教师：可以有数列的通项公式写出数列的项？是不是每一个数列都有通项公式？有的话是不是唯一的？

作业：习题2.1 A组 1，2 思考题：①为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”通项公式？

②你能写出前四项为1，1，1，1的数列的两个通项公式吗？

③你认为所有的数列都有通项公式吗？引例4的数列有没有通项公式？若有，你能写出它的一个通项公式吗？（投影）

四、教学评价与反思

本节课教学通过丰富的实例展开的，国际象棋的传说、古语、童谣、中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数等例子不仅可以使学生体会数列与现实世界的联系，也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。

本节课的教学设计体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数列问题与生活实际联系起来,

展示了一个完整的数学探究过程。比如在探究数列和函数的关系过程中，引导学生以小组合作的方式探究数列的每一项与这一项的序号的对应关系，并用一个公式表示。这样通过提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。

在教学中采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，从而使学生逐步改进学习方式，在合作中相互配合，更好地实现学习任务。

这节课基本上达到教学的预想目的,由于小组合作学习对教师驾驭课堂的能力要求很高，这在今后的教学中还有待于进一步的提高，在生生互动过程中，讨论还不够热烈。在调动学生的积极性和主动性还要继续下功夫。通过这节课，使我更深刻的认识到应加强自身的学习，不断反思，不断改进，超越自我，不断创新出新的更好的课堂教学模式。

点评：

通过对一定数量感性材料的观察、分析，可以提炼出感性材料的本质属性。从学生熟悉的童谣、体育知识和数学史、数学文化等角度切入课题，可以吸引学第

5 页

共

6 页

生“眼球”，激发学生探究问题的热情。活动一可以使学生体会到这些数的排列的顺序性，认识数列中的项与它的序号的对应关系，如情境1中，a11,a22,a322,a423,,情境2中,a1，a1，a1，a1，,这12342222234样既落实对概念的准确表达，又为以后写出数列的通项公式埋下伏笔。

学生对新知识的学习应当建立在知识的最近发展点上，在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念。这样学生掌握知识好比滚雪球那样，新知识裹在旧知识之上，新知识又深化旧知识，雪球不仅越滚越大，而且比较省力。本节课通过函数和数列知识的对比探究，加深了学生对数列的理解。在【拓展延伸】中，教师提出问题：数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？并通过具体的数列②，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 1 1213141

5↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5 1引导学生用解析式an表示数列的每一项与这一项的序号的关系，这样就帮n助学生认识到数列是一种特殊的函数，引导学生用函数的思想理解数列。在数列的学习中联系函数的相关知识，用函数的观点和方法分析、解决数列问题，既注意了函数方法的普遍性，又注意了数列方法的特殊性. 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是本节课的一个重点和难点，这里教师采用列表对应的方式，分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，比如【应用提升】2（1）中 1，3，5，7的一个通项公式；教师引导学生探索各项中变化部分与项数之间的关系，分析数列的项和项数的对应关系，列出下表：

项 1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 这样就可以帮助学生得到an2n1；

这里应用归纳的方法既帮助学生提高分析问题、解决问题的能力，同时让学生明白归纳法是探索世界的基本方法。

学生的互动是本节课的一个亮点，教师设计活动四：每位学生写四个数作为一个数列的前四项，请同桌写出这个数列的一个通项公式。并思考：出题者是依据什么规律写出这四个数的？你能够说出他的意图吗？这样不仅让学生加深理解了数列的概念，同时同学之间相互的设疑、解疑可以大大激发学生的探知欲和创造力。

第

6 页

共

6 页