2.基本不等式教案教学设计

《基本不等式》教学设计

一．

教材分析

本节课是《普通高中课程标准数学教科书选修4-5》（人教A版）第一章第一节第2课时，主要内容为基本不等式的推导与简单应用，它以学过的不等式的基本知识为依据，在推导过程中用到分析法，强调基本不等式的成立条件。

二．学情分析

学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，所以我们选取生活中的例子，激发学生的学习兴趣，让学生较容易的理解基本不等式及其推导。

三．教学目标

1.掌握基本不等式，明确基本不等式成立的条件。

2.了解基本不等式的证明过程。

3.会用基本不等式解决实际应用问题。

4.培养学生生活问题数学化，注重运用数学解决生活中实际问题的意识，培养学生探索研究精神。

四．教学重难点

教学重点：基本不等式的推导及证明过程。

教学难点：利用基本不等式解决实际应用问题。

五．教学过程

情境引入

PPT展示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

思考：会标中含有怎样的几何图形？

思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？引出课题

【设计意图】

介绍国际教学家大会及赵爽弦图的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育利用弦图证明勾股定理的过程。一方面，展现了赵爽证明勾股定理的过程的构图巧妙精致，让学生对弦图的认识清晰，完整；另一房面，为提出弦图中的不等关系做铺垫，体会相等关系与不等关系的辩证统一，同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系。

新课探索

利用会标赵爽弦图推导出重要不等式

探究 1.积与四个直角三角形面积和有什么不等关系？

2.它们会有相等的情况吗？

结论：a2+b2错误！未找到引用源。2ab 【设计意图】

由两图的面积关系我们猜想了两实数间也有这种关系，猜想：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2错误！未找到引用源。2ab,当且仅当a=b时等号成立。

思考：你能给出不等式a2+b2错误！未找到引用源。2ab的证明吗？

证明：（作差法）

a2b22ab(ab)2当ab时，（a-b)20当ab时，（a-b)20所以（a-b)20所以a2b22ab

【设计意图】引导学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳，猜想，证明这一重要思想方法。

定理1：

如果a、b∈R，那么a2+b2错误！未找到引用源。2ab当仅当a=b时等号成立。

适用范围：a、b∈R 文字叙述为: 两数平方和不小于它们积的2倍。

探究：

如果a0,b0,我们用可得到什么结论？a,b分别代替a,b,

学生动笔演练

思考：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？

分析法证明，由学生填空. ab定理2：如果a>0，b>0，那么2ab当且仅当a=b时等号成立。

ab在数学中，我们把

2

叫做正数a，b的算术平均数，把ab

叫做正数a，b的几何平均数。

文字叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

【设计意图】

激发思维，使其从多角度发现不等式与不等式的内在联系，认识到他们是相同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的，同时，也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯。

例题分析

例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

解：设BC=xCD=y 则xy=100,篱笆长为2（x+y）. xy2xy2xy210020. 2(xy)40当且仅当x=y时，

等号成立.即x=y=10. 总结：若x，y皆为正数，则当xy的值是常数p时，当且仅当x=y时，x+y有最小值2p。xy2xy2p

例3.（2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：如图，设BC=x,CD=y, 则2（xy）=36，x+y=18 矩形菜园的面积为xy㎡

xyxy18922

xy81

当且仅当xy时，等号成立即x=y=9 总结：若x、y皆为正数，

则当x+y的值是常数S时，

当且仅当x=y时，

xy有最大值12S4,xyxyS1xyS2

224【设计意图】本不等式解决实际问题，通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活. 课堂练习．

1.把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

2.把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

六．课堂小结

1本节课我们学习的主要内容是什么？

2在应用基本不等式时，需要注意那几点？

3在本节课学习中，运用了哪些数学思想方法？

学生发言，并相互补充，教师点评即可，教师可适当总结本节课所应用的教学思想与方法。

【设计意图】通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程，使学生对本节内容有一个更全面的认识。

七．课后检测

1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．

2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值

3.已知x<0，求函数fxx2 的最大值. x14.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求u1的最小值．

xy【设计意图】分层练习使学生在完成教材任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生获得成功的喜悦。