小结名师教学实录

§3.4.1基本不等式的教学设计

安徽省无为县牛埠中学 朱小扣

一、教学内容解析

本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。

二、教学目标设置

1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；

2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

三、学生学情分析

对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。

四、教学策略分析

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在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点

五、教学过程：

（一）情景引入

下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形

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证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。 【设计意图】

1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。

2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。

师：从图形上你能观察到了什么？

生：边、角、三角形、正方形

师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？

生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。

师：那么面积之间又有怎样的关系呢？

生：大正方形面积a2b2，四个直角三角形面积2ab，并且a2b2>2ab。

师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？

生：还会相等。

ab时会相等。

（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）

结论：a2b22ab（当且仅当ab时取等号）

师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）

生：由a2b22ab，则a2b22ab0(ab)20恒成立。则ab时取等号。

师：一般的我们都用a，b表示，那么若将上式中的a，b换成a，b，你又会得出什么结论？如何证明？

【设计意图】

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用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。

生：

ab2ab(a0,b0) 当且仅当ab时取等号。

师：很好，还可以写成

ab(a0,b0)，如何证明这个结论成立呢？

2abab，只要证ab2ab，只要证ab2ab0， 生投影展示：要证2 ab只要证(ab)20，显然式子成立，当且仅当ab取等号。

师：这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式

和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。

探究二：

如右图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa，BCb。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形，得出abab(a0,b0)的几何解释吗？

2【设计意图】

对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。

（学生口述证明过程，教师给以引导）

D

证明：因为ACDBCD，所以CDab。 O ab(a0,b0) 用不等式表示为ab2

4 由于CD小于或等于圆的半径，

A C B

显然不等式当且仅当点C与圆心结合，

即当ab时，等号成立

结论:（教师投影展示学生口述结果）

ab是a、b的几何平均数，ab是a、b的算术平均数。

2代数解释是几何平均数不大于算术平均数。

几何解释为半弦不大于半径。

师：以上利用代数法和几何法推导基本不等式，过程详细，内容明确，学生们对基本不等式理解了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？

例：判断对错

（1）由a,bR,则ab2ab。 （ ）

（2）若x0,则x2。 （ ）

（3）当a0,b0时，1xabab。 （ ）

21x（4）函数yx的最小值为2. （ ）

【设计意图】

考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。

（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）

师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题。

合作探究：下面两道例题都由学生先独立完成，然后组内探讨，最后组内出代表完成。

例：（１）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？

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【设计意图】

1．总结归纳利用基本不等式求最值问题，实现积与和的转化。

2．培养学生在实际生活中对不等式的感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义。

解：设矩形菜园的长为xｍ，宽为yｍ，则xy100，篱笆的长为2xyｍ．

由xyxy，可得xy2100，2xy40。等号当且仅当xy时成立，2此时xy10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m．

师：完成此例题你有什么发现？

生：乘积是定值的时候，和取最值，并且为最小值。

师：很好，那总结个规律该怎么说呢？（学生尝试说，最后教师完善）

结论1：积定和最小。

师：看看下面这道例题，你又会得到什么结论呢？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大的面积是多少？

解：设矩形菜园的长为xｍ，宽为yｍ，则2xy36，xy18，矩形菜园的面积为xy㎡．由xyxy189，可得xy81，

22当且仅当xy，即xy9，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大的面积是81㎡。

师：此题做完你又有什么想法呢？

生：和定积最大。（由上面的题引导学生会很快得出结论）

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师：由上面例题，同学们，能总结一下运用基本不等式解题需要满足的条件吗？（根据前面学习学生会说出至少两点）

生：a,b都为正数，取最值的条件是ab

师：例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？（通过教师引导学生会想到定值）

生：有一个是定值。

师：好，那我们给运用基本不等式满足的条件一个口诀吧？

（生尝试去说，但不一定简便，但用自己的思维方式说印象会更深）

师：一正、二定、三相等。

师：那我们如何运用基本不等式都能求哪些最值得题型呢？下节课我们再研究。

五、课堂总结 1、本节课你学到了什么？

2、你还有哪些疑问？

【设计意图】通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。

六、课后作业

教材P113练习1、2、3.习题A组2、3 【设计意图】巩固训练本节课学习内容并且给学生一个完整的独立思考，自主学习的机会。

七、教学设计说明 不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生

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只有真正理解了才会用起来得心应手。

基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法。代数学通过图形展示，让学生自己找出不等式关系，从而引出结论。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的条件。最后用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程。两种方法就是希望学生真正理解公式的由来。从而能够灵活运用。

基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，所以一道求最值的实际问题引导学生理解运用不等式需要注意的三点：一正、二定、三相等。为后面求最值的题型做了铺垫。

课堂总结和课后作业都是给学生一个独立思考，理顺自己思路，回顾学习的内容，从而检验自己学习情况。

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