1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学活动设计方案

1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用(教学设计) 一、基本说明

1模块：高中数学选修1-2 2年级：高中二年级文科

3所用教材版本：人民教育出版社

4所属的章节：第一章第二节

5学时数： 45分钟（多媒体教室授课）

二、教学设计

1、知识与技能

通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断．明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验．

2、过程与方法

在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下节课内容作好铺垫，进而介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值R的求法，以及它们的实际意义．从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有

关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小．最后介绍了独立性检验思想的综合运用．

3、情感、态度与价值观

通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面辨证地分析问题，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质．加强数学与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系．明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值．教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会．养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题．

4、教学重点、难点

教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤．

教学难点；①

理解独立性检验的基本思想；②

了解随机变量K2的含义；③

独立性检验的步骤．

三、教学过程：

（一）情境引入

数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。

提问：数学家庞加莱得出这一结论的依据是什么？

答案：假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ；“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件；这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。这就是我们今天要学习的内容“1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用”。

（二）新课讲解

1、求解假设检验问题

考虑假设检验问题： H0：面包分量足

←→ H1：面包分量不足

求解思路：（1）在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；

（2）如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。

2、二个概念

（1）分类变量

（2）列联表

学生通过阅读教材了解这两个概念。

（三）新知探究

问题：为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

吸烟与肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌

总计

7775 42 7817 2099 9874 49 91 2148 9965 在不吸烟者中患肺癌的比重是多少？在吸烟者中患肺癌的比重是多少？

学生通过计算可以说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。

引导学生应用所学统计知识进行研究。

1)通过图形直观判断两个分类变量是否相关

方法一、引导学生画三维柱状图

通过列联表的三维柱形图，从中能清晰地看出各个频数的相对大小

方法二、引导学生画二维条形图

从图中可以看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例。

方法三、引导学生画等高条形图

在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比。明显吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例。

通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关

提问：结论的可靠程度如何？那么我们能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

（四）探究学习

独立性检验

为了回答上述问题，我们先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系．用A表示不吸烟， B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立”，即假设

等价于

P（AB）=P（A）P（B）

．

把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

b a+b 不吸烟

a 吸烟

c 总计

a+c d b+d c+d a+b+c+d 在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b 和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数．由于频率近似于概率，所以在成立的条件下应该有

，其中为样本容量，

（a+b+c+d）≈（a+b）（a+c）

，

即ad≈bc．

因此，|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强．

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

（1）

其中为样本容量．

若

成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则

K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到

K “的观测值为

，

这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家经过研究后发现，在

成立的情况下，

．

（2）

（2）式说明，在成立的情况下，的观测值超过

的概率非常小，近似为，是一个小概率事件．现在的观测值≈56．632 ，远远大于，所以有理由断定不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0．01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” ．

在上述过程中，实际上是借助于随机变量的观测值建立了一个判断是否成立的规则：

如果≥，就判断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．

在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会超过

，

即有99％的把握认为从不成立．

上面解决问题的想法类似于反证法．要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0：“两个分类变量没有关系”

成立．在该假设下我们所构造的随机变量应该很小．如果由观测数据计算得到的的观测值k很大，则在一定可信程度上说明不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对的充分证据．

怎样判断的观测值是大还是小呢？这仅需确定一个正数，当时就认为

的观测值大．此时相应于的判断规则为：

如果，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．

我们称这样的为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为．

在实际应用中，我们把解释为有的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把解释为不能以的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据．上面这种利用随机变量来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验．

利用上面结论，可以从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关。

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛｝和｛｝，

其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

2×2列联表

总计

总计

若要推断的论述为

：X与Y有关系，

可以按如下步骤判断结论成立的可能性：

1．通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．

①

在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad 与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，成立的可能性就越大．

②

在二维条形图中，可以估计满足条件X=的个体中具有Y=的个体所占的比例，也可以估计满足条件X=的个体中具有Y=，的个体所占的比例．“两个比例的值相差越大，成立的可能性就越大．

2．可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是：

①

根据实际问题需要的可信程度确定临界值；

②

利用公式（ 1 ）

，由观测数据计算得到随机变量的观测值；

③

如果，就以的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据．

（五）临界值表

0．020．010．50 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05

5 0 0．450．701．322．071．322．703．845．02

5 8 3 2 3 6 1 4 （六）知识迁移

例1．在某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有

175 人秃顶．

（1）利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系．

（2）能够以 99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？

0．000．001 5 6．6310．825 8

分析：1、引导学生画三维柱状图、二维条形图，从而得出一个大概结论（粗略判断）；2、应用“独立性检验”准确说明。

（七）巩固提高

1、三维柱形图中柱的高度表示的是（ A ) A ．各分类变量的频数 B ．分类变量的百分比

C ．分类变量的样本数 D ．分类变量的具体值

2、对分类变量X 与Y 的随机变量的观测值K ,说法正确的是（ B ) A . k 越大，" X 与Y 有关系”可信程度越小; B . k 越小，" X 与Y 有关系”可信程度越小; C . k 越接近于0，" X 与Y 无关”程度越小

D . k 越大，" X 与Y 无关”程度越大

3.为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系,调查了却339名50岁以上的人,结果如下表所示,据此数据请问:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗? 患慢性气管炎

未患慢性气管炎

合计

162 205 吸烟

43 121 134 不吸烟 13 合计

56 （八）

课堂小结

1、本节课主要学习了那些内容？

2、独立性检验的一般步骤是什么？

283 339

（九）课后作业：

1、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（

）

A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病; B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病; C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确. 2、若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有

把握认为两个变量有关系

3、在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系。

四、课后反思：

本节内容对独立性检验的探讨过程学生基本没什么困难，还有学生提出了新的探讨路径和思想，学生思维活跃！对独立性检验的作用，本节课也作了系统总结比较．