3.1.2 复数的几何意义第一课时评课稿

3.1.2 复数的几何意义

一、课题名称：复数的几何意义

二、教学目标

1.知识与技能目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数，了解复数模的概念以及几何意义，会用公式计算复数的模；

2.过程与方法目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分许解决问题的能力；

3.情感态度价值观：引导学生观察现象、发现问题、提出观点，验证结论，培养良好的学习思维以及数学学习习惯。

三、教学重难点

1.教学重点：复数的几何意义及复数的模

2.教学难点：复数的几何意义以及模的综合应用

四、学情分析

学生已经学习了复数的有关概念，复数的代数表示形式复数相等的充要条件等知识；学生对复数有一定的了解基础，也学习了推理与证明的相关内容，对学习复数的几何意义以及复数的模有促进作用

五、教学方法

讲练结合法，引导探究法

六、教学过程

（一）旧识复习

1.复数的概念、分类、代数表示；

2.复数相等的充要条件；

3.复数集与实数集的关系。

（二）激情导入

问题一：复数相等的充要条件是

且

，那么两个复数能否比较大小呢？

生1：可以，因为实数集是复数集的一部分，那么复数可以类比实数进行比较大小。

生2：不可以，比如说

，

，那么这两个复数由于存在虚数单位就不知道如何比较大小了。

师：同学们说的非常正确，那么这节课我们就可以通过学习、探究来看看复数到底能不能比较大小。

请同学们研究问题2 问题二：我们知道实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来进行表示。点是几何图形，因此实数的几何意义就是数轴上的一系列点。那么复数有什么几何意义呢？同学们讨论一下。

师引导1：复数由哪些部分构成？是否唯一确定？

生1：复数由实部和虚部构成每一个复数的实部和虚部是唯一确定的，也就是实部和虚部可以确定唯一的一个复数，

师引导2：那么实部和实部都是什么数？是否可以用一种特殊形式来表示呢？

生2：实部和虚部都是实数，可以用一个有序实数对 表示。

师引导3：有序实数对与我们之前学习的什么知识有关系？你能够联想到吗？

生3：一个有序实数对 可以表示平面直角标系中一个点。

想一想：复数系与平面直角坐标系中的点能一一对应吗？如何建立对应关系？

（三）自主学习

1.阅读教材，思考上面的问题，如何建立坐标系中的点与复数相对应呢？

生合作探讨，派代表发言

生代表1：可以以复数的实部为

轴，虚部为

轴建立平面直角坐标，这样这个坐标系中的点与复数就是一一对应的关系。每一个点的坐标是 对应唯一一个复数，每一个复数可以用一个有序实数对 表示，对应这个坐标系中的唯一一个点。

（四）激情互动

1.复平面的概念

师：同学们说的非常正确。像这样建立的坐标系，以实部为

轴，虚部为

轴建立的直角坐标系表示的平面称为复平面，其中

轴表示实轴，

轴表示虚轴。实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数（除原点外）

（1）想一想：为什么要把原点除外？

生：因为原点坐标 表示复数

，是一个实数而不是纯虚数。

（2）如图建立直角坐标系表示复平面，复平面中的任意一个点

，其横坐标是

，纵坐标为b，复数

可以用点 表示。您能够将下面的点表示成复数或者将复数表示成点吗？（学生思考，回答）

复平面内的点(0,0)表示（ ）；

点 表示复数（ ）；

实轴上的点 表示（ ）；

复数

表示复平面上的点（ ）；

虚轴上的点 表示（ ）；

复数

表示复平面上的点（ ）；

复数 表示复平面上的点（ ）。

2.根据上面的表示，总结出一般结论，复数与复平面的点什么关系？

生：每一个复数与复平面内的点一一对应，反之亦然。

师：那么复数集呢？

OxyZ(a,b)

生：复数集与复平面内所有的点所成的集合一一对应关系。

师：用图形怎么表示？

一一对应

3.思考：现在同学类比实数的集合意义说一说复数的几何意义是什么？

生讨论：复数的几何意义就是复平面上的点

4.想一想：我们所学过的知识中，与平面内的点一一对应或者说与有序实数对一一一对应的还有其他内容吗？

生1：还有向量

师：很正确，在一个平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，而有序实数对与复数是一一对应的，因此我们还可以用向量来表示复数。

（五）魅力精讲

1.向量与复数

如图：设复平面内的点Z表示复数

，连接 ， 是由

唯一确定，反过来点

（相对于原点）也可以显然 唯一确定，因此复数集

与复平面内的向量所成的由向量 集合也是一一对应关系。

你能够用图形表示吗？

复数

平面向量 ybZ(a,b)复数

复平面内的点

Oax一一对应

表示。并规定：师总结：实数

与零向量对应，于是复数可以用平面向量 相等向量表示同一个复数。

问：现在你能够说一说复数有哪些几何意义吗？

生：复数可以表示平面内的一个点，还可以表示平面内的一个向量。

说一说：你能够解释为什么复数不能比较大小了吗？讨论一下

生：因为其几何意义表示点或者向量，向量是不能比较大小的，因为有方向性。

2.向量的模，复数的模

（1）回顾：向量的模如何定义？如何计算？

用有序实数对 表示，生：向量的长度的叫做向量的模，如果一个向量 的模|

. 那么向量 （2）类比一下，复数的模如何计算？

表示复数

，因此向生：复数可以用平面内的向量表示，设向量 的模也叫做复数

的模，记作 或者

，计算法则与向量量 类似：

（六）例题讲解

例1：分别写出下列复数所对应的点的坐标

（1）2；（2）

；（3）6；（4）

;（5）解：（1）对应点（ ）；

（2）对应点（

，

）；

（3）对应点（ ）；

（4）对应点（

，

）；

（5）对应点（求实数

的值；

（2）若

表示的点在复平面的左半平面，求实数

的取值范围。

解：（1）根据题意，在虚轴上则有

解得

，所以

的取值为4

，

）.

例2：（1）若复数

表示的点在虚轴上，（2）由z表示左半平面，则有

解得：

所以

的取值范围为（

）

例3：在复平面内，

为原点，向量 对应的复数为

，

对应的复数；

（1）若点

关于实轴对称的点为

，求向量 对应的复数，并比（2）若（1）中的点

关于虚轴对称的点为

，求向量 较三个复数模的大小关系。

解：（1）如图，作出

的对称点

，写出

的坐标为（

，

），所以向量 对应的复数为

；

对应（2）作出

关于虚轴对称点

，写出

坐标为（

，

），所以 的复数为

，

根据模长公式，

;

. 三个复数的模长相等。

（七）课堂总结

1.复数的两种几何意义；

2.复数模的意义以及计算；

3.本节课的思想方法；

类比，归纳，数形结合

七、作业布置

P54，练习1,2,3 八、板书设计

3.1.2复数的几何意义

二、新课教学

1.复数的几何意义

（1）表示点

（2）表示向量

2.复数的模

复数模计算

，

三、例题讲解

例1：

例2：

例3：

四、课堂总结

一、

旧识复习

1.

复数的概念、表示、类别；

2.

复数相等条件

3.

复数集与实数集的关系