阅读与思考 错在哪儿优秀教学设计

《基本不等式》教学设计方案

人教版（A版）

普通高中课程标准试验教科书必修第五册

【教学目标】 1、知识与技能目标

ab（1）掌握基本不等式ab,认识其运算结构； 2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标

（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标

（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

ab应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab的2证明过程。

【教学难点】

ab基本不等式ab等号成立条件。

2

【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验

【教学过程设计】

一、

创设情景，引入新课

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？

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赵爽弦图

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a2b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab。

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

4．基本不等式

1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)

2ab

22）从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

要证 abab (1) 22

只要证 ab2ab (2) 要证（2），只要证 a+b-2ab0 （3）

要证（3），只要证 （a-b）2

0 （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

ab3）理解基本不等式ab的几何意义

2如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

ab你能利用这个图形得出基本不等式ab的几何解2释吗？

ab引导学生发现：表示圆的半经，ab表示半弦长CD,2ab得到不等关系：ab≤(a0,b0) 2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. ababab，其中当且仅当，显然，它大于或等于CD，即22点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。

ab我们称ab为正数a,b的几何平均数，称为正数a,b的算术平均数。

2代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

5.随堂练习

已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

abab（a＞0，b＞0）灵活变形，分析：对于此类题目，选择定理：2可求得结果。

解：∵a，b，c都是正数

这个圆的半径为∴a＋b≥2ab＞0 b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 【课时小结】

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本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数ababab）.它们成立的条件），几何平均数（ab）及它们的关系（22不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变（ab2a2b2). 形来解决问题：ab,ab(22思想方法技巧：

（1）数形结合思想、“整体与局部” （2）换元法、分析法

（3）配凑等技巧

【板书设计】

课题: §3.4基本不等式ab1.课题导入

基本不等式abab的2ab（第1课时）

22.讲授新课

3.随堂练习

1．问题探究——探究图

形中的不等关系。

2．总结结论：

3．思考证明：你能给出4.课时小结

它的证明吗？

几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

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