小结特级教师教学实录

微专题：一元二次不等式恒成立问题

成都市中小学信息技术环境下赛课活动

教

学

设

计

与

反

思

基本信息

学校

课名

学科（版本）

学时

成都市青白江中学

微专题：一元二次不等式恒成立问题

人教A版高中数学必修五

1课时

教师姓名

章节

年级

明显利

第三章第二节

高一

一、

教学目标

（一）知识目标

理解一元二次不等式恒成立问题的本质，能把一元二次不等式恒成立问题转化为最值问题。

（二）能力目标

掌握用最值法解一元二次不等式恒成立问题，熟练应用转化与化归、数形结合、分类讨论三大数学思想方法，培养学生逻辑推理，抽象概括等能力。

（三）情感态度价值观

树立学好数学的信心，让学生体验到自己探究问题，得出答案的成就感，进一步激发学生的学习兴趣，培养勇于探索、勇于创新的精神。

二、

学习者分析

学生在初中阶段初步学习了一元二次方程，在高中阶段，学习了解一元二次不等式，能解含参一元二次不等式。而不等式恒成立问题是高中数学中一类重要问题，它综合了二次函数的图像和性质、二次不等式、二次方程、求函数最值的方法、“对勾函数”的图像与性质等知识，涉及分类讨论、数形结合等数学思想方法，是学生学习中的难点。

三、教学重点

掌握用最值法解一元二次不等式恒成立的方法

四、教学难点

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如何把一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题

五、教学方法

通过情景案例法、问题探究法、小组讨论法，引导学生思考，归纳和总结此类问题的解法。

六、教具准备

多媒体课件

教学助手

七、

教学过程

导入新课

师：同学们，请看这张图片（ppt展示）

生：《头号玩家》

师：是的，有同学愿意给大家分享一下观后感吗？

生：这是一部非常精彩的电影，很刺激，值得二刷。

生：一个周末和好朋友去看的，很棒很刺激，都幻想自己是电影主角玩一场游戏。

师：看来同学们对这部电影的关注很高，其实老师也是导演（斯皮尔伯格）的粉丝，今天呢，老师想把课堂模拟为一场闯关游戏，我呢，是关卡设置者，而同学们分组闯关。同学们，敢挑战吗？

生：敢。

师：好，那让我们一起进入：【数学揭秘岛之一元二次不等式恒成立问题】

【设计意图】通过生活中同学们关注度高的电影引入，并讲明今天的课堂模拟闯关游戏，不仅埋下伏笔给同学们耳目一新的感觉，而且明确教师在课堂中的主导地位，学生在课堂中的主体地位。

讲授新课

【赛前热身，识恒成立】

师：现在我将大家分为六组，前面两排为一组，组号已经贴在桌子的左上角。在正式进入游戏之前，我们先进行赛前热身活动，初步认识不等式恒成立问题。大家准备好了吗？

生：准备好了。

师：高一，二班所有同学的身高都在1.4米以上？你能以最简最快的速度证明这成都市青白江中学高2020届数学组

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个结果吗？（ppt展示）

生：是的、肯定啊。只需要班级身高最矮的同学在1.4米以上即可。

师：下面哪个图像对xR时其函数值恒大于0？为什么？（ppt展示）

①

②

③

师：通过上面的两个小问题，发现各位闯关者对数和型上对恒成立有所了解，而且明白证明恒成立的方法，现在就让大家正式进入游戏。我们的游戏共分为五关，难度系数不断加深，各位闯关者们准备好了吗？

生：准备好了。

【设计意图】通过生活中常见的关于恒成立问题，进行赛前热身，让学生明白恒成立问题在生活中随处可见，并不是陌生的数学问题，进而激发学生学习不等式恒成立问题的热情。

【第一关——初试牛刀，易解问题】

师：第一关的问题：关于x不等式x22xa0对xR恒成立，求实数a的取值范围。（ppt展示），哪一组的闯关者愿意尝试一下。

生：举手

师：第二组的XXX 生：

令f(x)x22xa，即xR时f(x)的图像恒在x轴上方

只需

4-4a0

∴a1 师：XX的解题思路很清晰，抓住此题的重点，考虑第一关的问题是。大家给他掌声鼓励，我们挑战继续，进入第二关。

【设计意图】此题较为基础，主要目的是为了体现数形结合思想，通过基础题激发学生学习兴趣。

【第二关——再展锋芒，分解问题】

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师：作为关卡设计者，我决定第二关将x的取值范围变化，即是：

变式1：关于x不等式x22xa0对x[1,2]恒成立，求实数a的取值范围。（ppt展示）看各位闯关者们如何破题？哪一组的成员愿意试一下？

师：第五组的XXX

生1：用4-4a0变化

师：他的解题思路是否完整呢？为什么呢？

生2：思考、举手

师：第一组的XXX

生2：0，0时也可以满足题意，应该这样解，

解：

令f(x)x22xa

对称轴为：x1

x[1,2]，

f(x)0

只需f(x)在[1,2]，f(x)min0

由图知f(x)min3a0

∴

a-3

师（总结）：生1使用时出现了漏解的情况，我们要注意，法只适合于一元二次函数定义域为R的情况，

数法其实质也是用最小值来处理，即一元二次函f(x)ax2bxc(a0)在R上

b4acb2f(x)minf()，若f(x)min0即0，

2a4a4a生2将问题化归为f(x)min0，则f(x)0恒成立。

师：整体来说，各小组表现都很不错，看来第三关我要设置更难一点。

【设计意图】这一环节将例题微变化，内容由浅入深，环环相扣，让学生明白当x取值范围发生变化时，处理问题的本质不变，培养学生辩证地思维能力。

【第三关——揭示本质，巧解问题】

师：现在让x的范围不变，将不等式中参数所处的位置变化一下，我们的闯关者们又会怎样破题呢？请各小组分组讨论6分钟，运用数形结合的思想，写出详细的解题过程。

变式2：关于x不等式x2-ax10对x[1,2]恒成立，求实数a的取值范成都市青白江中学高2020届数学组

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围。（ppt展示）

师：使用教学助手，直播讨论情况（启用计时器）

生：讨论，找出解决问题的关键，并写出解题过程。（教学助手呈现各小组开展讨论的情况）

师：好的，讨论时间到，有小组愿意给我们展示一下小组讨论成果吗？

生：展示小组方案（教学助手呈现）

解法一（直接最值法）：

令f(x)x-ax1

对称轴为：

f(x)在[1,2]，f(x)min0

2ax

2只需a1①

∴a2

2

f(x)minf(1)2a0

a122②∴a

2aaf(x)f()10min24

a2③∴a

2f(x)minf(2)5-2a0

综合①②③得a2

师：其他小组有不一样的解法吗？

生：展示小组方案（教学助手呈现）

解法二：（分离参数最值法）

1原不等式化为

axx1

由x1,2

ax

x2成都市青白江中学高2020届数学组

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1令g(x)x即x1,2时ag(x)min

x1由双勾函数知g(x)x在x1,2时单增g(x)ming(1)2

x∴a2

师：（总结）对比两个的小组两种方法，均是用最值法处理，法一是直接求最值，入题容易，但求最值过程中需分类讨论；法二是利用参变分离化归思想，把动函数变为定函数，避免讨论。这类题型优选法二，大家遇到同类型的题时，先考虑参数分离，若参数不能分离或者不好分离，则选法一。

【设计意图】通过小组讨论，让学生在讨论中交流、思考、观察，讨论解决问题的方法，并通过小组分享的形式展示讨论，明确最值法处理有多种解法，要根据具体的题型优选方法。

【第四关——活学活用，分解问题】

师：第四关呢，我想邀请2名闯关者在白板上运用第三关中的方法解答我第四关的问题，时间为2分钟（启用计时器）。问题如下：

变式3：关于x不等式x2-ax10对一切实数x[2,-1]恒成立，求实数a的取值范围。（ppt展示）

师：第四组的XX

第一组的XX，现在开始。

生：（上台在白板上演示）

1原不等式化为

axx1

由x-2,-1

ax

x1令g(x)x即x-2,-1时ag(x)max

x1由双勾函数知g(x)x在x[2,-1]时单增

x2g(x)maxg(1)2

∴a-2

师：XX，XX都在规定的时间用最简单的方法，找出答案，刚刚我在下面看见各小组的大部分闯关者都找到了闯关秘籍，采用第三关中的法二，利用参变分离化归思想，把动函数变为定函数，避免讨论，这很棒。

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【设计意图】检验学生对变式2的理解程度，强化分离参数最值法，使学生感受避免分类讨论的优势，增强自信心。

【第五关——归纳小结，反思提高】

师：通过前面四关的闯关，各位闯关者在闯关的过程中，都有所获，有所悟，第五关，我想让各位闯关者静下心来，独立思考，归纳小结，反思提高，完成数学揭秘岛：一元二次不等式恒成立问题的学习卡，并完成拓展训练。

拓展训练：关于x不等式ax2-2x-10对一切实数x[1,2]恒成立，求实数a的取值范围。（ppt展示）

师：大部分闯关者都完成了学习卡和拓展训练，有闯关者愿意分享一下自己的学习卡吗？

生：

生：

师：（总结）通过部分小组成员的分享，发现闯关者们对今天的学习掌握得不错，各位闯关者具体闯关情况，麻烦各位组长收集组员的学习卡，我通过分析学习卡总结大家的闯关情况，下节课反馈。

师：本节课小结：（ppt演示）

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1、一元二次不等式恒成立处理策略？

数形结合法

最值法：直接求最值法或分离参数最值法

2、本节课的基本思想方法有哪些？

数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想

【设计意图】引入学习卡，引导学生梳理本堂课所学习的一元二次不等式恒成立问题处理策略，思考收获，并总结数形结合、转化与化归、分类讨论等思想，并在归纳小结之后，进行拓展训练，反思提高，培养归纳概括能力和知识运用迁移能力。

结束新课

师（回顾）：今天整堂课通过模拟闯关游戏，由生活中常见的恒成立问题导入，同学们小组讨论，分析不等式x取值范围和参数的变化，利用最值法探讨一元二次不等式恒成立问题，并得出解题思路，大家在交流与分享中发现，用最值法分析一元二次不等式恒成立问题，万变不离其宗。今天我们的新课就上到这里，请同学们在生活中要善于发现问题，学会用数学思维分析问题。完成课后作业，做到巩固训练，并将学习卡归类。同时思考：将本节课中的所有“>”改为“<”，又怎样求解呢？下节课我们一起研究。

师：

课后作业，巩固训练

1. 关于x不等式x取值范围。

2．关于x不等式ax围。

2-ax2a0一切实数x0,2恒成立，求实数a的2-4x10一切实数xR恒成立，求实数a的取值范213．已知不等式a0，对x0,恒成立，求实数a的取值范2xx围。

生：老师再见。

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八、

交互式电子白板（教学助手）教学应用小结

本堂课使用教学助手上传课件、教案、学案以及上课要用的素材，使用互动课堂白板上课并用到移动讲台，用手机控制白板和课件，将学生答题情况通过随堂拍照、随堂直播的方式展示在白板上，并通过手机或白板进行标注，对一些特别需要重视的问题使用了聚光灯，定时练题时使用计时器，使同学们更好地把握时间。需要同学们回答问题时采用软件中随机挑人方式。

教学助手的应用一是提升了教与学过程中双方的交互能力，促进了教师与学生的交流互动，使得基于新课程改革后的探究式课堂教学活动变的更加和谐顺畅，突显了教学过程中学生学习的主体地位。二是由于使用计算机技术，白板也就成了互联网的一个操作平台，信息与资源分享变得更加简洁随意和丰富，提升了课堂教学调用教学资源的效率。三是对课堂教学形式和传统课堂教学设施的一个大的革新，教师可以完全脱离黑板和传统讲台而进行教学，真正意义上实现了数字化课堂，课堂教学过程更加自由和顺畅，教学容量进一步扩展丰富。四是挑战传统，改变教师固有的教学观念，促使教师现代教育信息技术水平的提高。

九、教学反思

本节课使用教学助手辅助教学，电子白板在技术上整合了黑板、水性笔、挂图等传统媒体，通过与计算机、投影仪的联机使用，轻松实现书写、标注、编辑、存储、实时拍摄、作业上传、及时反馈等功能，完全突破了传统的教学模式，使高中数学课堂不再枯燥，大大提高了课堂效率。

高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，而含参一元二次不等式恒成立问题更是近几年高考常考题型，同学们解题时经常出错，为帮助同学们更好的掌握它们，同时也为研究其他模型函数恒成立问题做铺垫。本堂课，通过模拟闯关游戏，由生活中常见的恒成立问题导入，同学们小组讨论，分析不等式x取值范围和参数的不断变化，由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生体会到了其中的数学思想方法，并让大家感受万变不离其中，总结解决此类问题的通解通法——最值法，并得出解题思路，而最值法有两种：一是直接最值法，二是参数分离最值法，直接最值法的优势是入题容易，同学们容易想到，不足之处是在求最值过程中需要对参数进行分类讨论，同学们容易出现讨论不全，出现漏解的情况。分离参数最值法优势成都市青白江中学高2020届数学组

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在于避免对参数的分类讨论，直接求已知函数的最值，这要求同学们参变分离时化归到位，而且对几种基本初等函数（如：一元二次函数、双勾函数、反比例函数等）的图像和性质非常熟练。

本堂课教学基本达到预设的效果，教师讲的内容并不多，学生的积极性和主动性被充分调动起来，学习潜能和学习兴趣被激发，取得了较好的教学效果，真正做到尊重教师在课堂中的主导地位，学生在课堂中的主体地位。同时教学过程通过模拟闯关游戏，并在游戏中融入情景案例法、问题探究法、小组讨论法，具体而言，整堂课借助闯关游戏，不断地“提出问题—分析问题—解决问题—归纳总结”。这样一来，不但使学生的知识得到升华，学习兴趣得到提高，而且培养了学生的积极主动性，逐步引导学生思考，归纳和总结此类问题的解法。但值得注意的是：必须给学生思考问题的时间，而且部分问题还要学生小组探究、小组展示、现场演练，所以课堂游戏各个环节与时间设定之间存在矛盾。另外，当学生的回答与备课的设想差别较大时，对教师的灵活应变能力要求比较高，教师要努力培养这方面的能力。

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