平方根课堂实录及点评

16.3

二次根式的加减

第1课时

二次根式的加减

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．

【过程与方法】

在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．

二、重难点目标

【教学重点】

会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．

【教学难点】

运用二次根式的加减运算解决问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

2．计算下列各式．

(1)22＋32；

(2)28－38＋58；

(3)7＋27＋9×7；

(4)33－23＋2. 解：(1)原式＝(2＋3)2＝52. (2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝82. (3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67. (4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋2. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)27＋1＋12；

3(2)32＋48－8＋3；

(3)322－226＋1.5－；

33(4)(6－22)2＋(23－1)(23＋1). 【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？

【解答】(1)27＋1316＋12＝33＋＋23＝3. 333(2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋53. (3)322－22622356＋1.5－＝26－2＋－＝6－2. 323233(4)(6－22)2＋(23－1)(23＋1)＝6－412＋8＋(12－1)＝25－83. 【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．

【例2】已知a－5－2＋b－5＋2＝0，求a2＋b2＋7的值．

【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a＝5＋2，b＝

5－2，然后再代入求值即可．

【解答】由题意，得a－5－2＝0，b－5＋2＝0，解得a＝5＋2，b＝5－2，a2＋b2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5. 【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是(

D

) A．2

C．2

B．3

D．22 2．若最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，则a＝5. 3．计算：

(1)348－91＋312；

3(2)(48＋20)＋(12－5)．

解：(1)＝153.

(2)63＋5. 活动3

拓展延伸(学生对学)

2【例3】已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求x9x＋y23x23－xy1－5xxy的值．

x【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x－1)2＋(y－3)2＝0，即可求出x、y的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．

【解答】∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝4x2－4x＋1＋y2－6y＋9＝(2x－1)2＋(y－3)2＝0，∴x＝1，y＝3. 22原式＝x9x＋y23x23－xy1＋5xxy

x

＝2xx＋xy－xx＋5xy

＝xx＋6xy. 1当x＝，y＝3时，

21原式＝×21＋6232＝＋36. 24【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时

二次根式的混合运算

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用．

【过程与方法】

复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算．

【情感态度与价值观】

理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性．

二、重难点目标

【教学重点】

熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力．

【教学难点】

正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P14的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

3．计算：

(1)13×27；

(2)；

35(3)80－45；

(4)(25－2)2. 解：(1)3.

(2)15.

(3)5.

(4)22－410. 5环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】计算：

1(1)222×931÷453；

512；

3(2)312－2123＋＋48÷3(3)2－(3＋2)÷3. 【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？

1【解答】(1)原式＝×9×2815122××＝×9×＝2. 3453292323＋1＝283×1＋1＝14＋1＝5. (2)原式＝63－＋43÷33323333(3)原式＝2－3＋223＝2－1－. 33【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

【例2】计算：

(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；

(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；

1(3)6－333－24×(－26)．

24【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．

【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62.

(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝6－263－6×(－26)＝－36×(－26)＝8. 62【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；②

－1.其中正确的有(

D

) A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

－22＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝2．如果(2＋2)2＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＝

6，b＝

4. 3．计算：

(1)(6＋8)×3；

(2)(46－32)÷22；

(3)(5＋6)(3－5)；

(4)(10＋7)(10－7)．

3解：(1)32＋26.

(2)23－.

(3)13－35.

(4)3. 2活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】先化简，再求值：5＋15－111y＋＋，其中x＝，y＝. 22x＋yyx

x＋y

【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算

xx＋yxy＋xx＋y＋y2x＋y211yxyy2【解答】＋＋＝＋＋＝＝＝x＋yyxx＋yxyx＋yxyx＋yxyx＋yxyx＋yxyx＋yx＋y. xy当x＝5＋15－1，y＝时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝5. 22【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以

根据式子特点，整体代入进行计算．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．

练习设计

请完成本课时对应训练！