反比函数在物理学中的应用教学内容分析

第2课时

1.能根据与其他学科联系的公式确定反比例关系,并求出反比例函数解析式.

2.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型,解决与其他学科知识相联系的问题.

1.通过探究与其他学科相联系的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.

2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.

1.通过将反比例函数知识灵活应用于其他学科,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.

2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神,同时感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.

【重点】

利用反比例函数的知识解决跨学科问题.

【难点】

根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P14~15.

导入一:

【复习提问】

(1)反比例函数y=的图象形状、位置、增减性是怎样的?当x=3时,y=

;当y=3时,x=

.

(2)结合一个反比例函数实例,说说反比例函数两个变量之间的关系.

【师生活动】

教师出示问题后,学生独立思考回答,教师点评.

导入二:

有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=2 m3时,气体的密度是多少千克/米3?

【导入语】

数学与物理、化学学科紧密相连,如何用数学知识解决这样的物理、化学问题,通过今天的学习,我们可以轻松解决.

导入三:

“给我一个支点,我可以撬动地球”是古希腊科学家阿基米德说的一句话,他发现若杠杆上的两物体与支点的距离和其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说,杠杆原理为:阻力×阻力臂=动力×动力臂.

当阻力和阻力臂不变,动力与动力臂有怎样的函数关系?

[设计意图]

通过复习反比例函数的图象和性质,理解反比例函数两个变量之间的关系,为本节课的例题学习做好准备.以物理学科中密度问题导入新课,让学生体会数学与物理学科密切相关,由科学家阿基米德著名的杠杆原理导入新课,为本节课的例题提供理论依据,同时激发学生学习的兴趣.

[过渡语]

应用杠杆原理,可以解决与杠杆有关的实际问题,让我们一起探究下边和杠杆有关的实际问题吧!

一、共同探究一

【课件展示】

(教材例3)小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m.

(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?

思路一

教师引导学生思考回答下列问题.

(1)杠杆原理中的等量关系是什么?

(2)阻力和阻力臂一定时,其乘积是常数,动力F与动力臂l有怎样的函数关系?

(3)如何求动力F与动力臂l之间的函数解析式?

(4)当自变量l=1.5时,你能否求出对应的函数值F?

(5)在动力F与动力臂l的函数关系中,函数值随自变量的增大怎样变化?

(6)“动力F不超过题(1)中所用力的一半”的含义是什么意思?

(7)你能结合函数图象,用方程思想求解(2)吗?

(8)你还能用不等式等其他方法求解(2)吗?

【师生活动】

学生在教师提出的问题引导下,思考并回答问题,教师点评答案,及时纠正学生回答中的错误,然后学生完成解题过程,教师通过课件展示解题过程.

思路二

独立完成下列填空后,尝试解答该题.

“杠杆原理”是

,即Fl=

,故F与l之间的函数解析式为

,所以当l=1.5 m时,F=

.

“动力F不超过题(1)中所用力的一半”即F

,因为函数F随自变量l增大而

,所以动力臂至少为

m,即动力臂至少要加长

m.

【师生活动】

学生独立思考后尝试完成该题的解答,然后小组内成员对解答过程和解题思路进行讨论交流,教师在巡视过程中对学生的困难给予帮助,及时发现小组中不同的解题方法,并示意板书解题过程,对学生的板书点评指导.

解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=1200×0.5,

所以F关于l的函数解析式为F=.

当l=1.5 m时,F==400(N).

对于函数F=,当l=1.5 m时,F=400 N,此时杠杆平衡.因此,撬动石头至少需要400 N的力.

(2)对于函数F=,F随l的增大而减小.因此,只要求出F=200 N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.

当F=400×=200时,由200=得:

l==3,3-1.5=1.5(m).

对于函数F=,当l>0时,l越大,F越小.因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.

另解:由F=得l=,因为F≤200,所以l≥3,

3-1.5=1.5(m),所以若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.

【追加思考】

此题利用反比例函数知识解释:为什么使用撬棍时,动力臂越长越省力?

【师生活动】

学生思考后小组讨论交流,教师点评得出结论:

对于函数F=,当l>0时,F随l的增大而减小,所以使用撬棍时,动力臂越长越省力.

[设计意图]

本例利用数学知识解决物理问题,让学生感受数学知识在物理中的应用,促使学生主动尝试从数学的角度运用所学知识寻求解决问题的方法策略,培养学生建模思想的构建,提高学生解决问题的能力和应用意识.

二、共同探究二

【课件展示】

(教材例4)一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110~220 Ω,已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图所示.

(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?

(2)这个用电器的功率的范围是多少?

教师引导学生分析:

(1)电学知识中,用电器的功率P(W)、电阻R(Ω)、两端的电压U(V)之间的等量关系式是PR=

,也可以写成P=

,或R=

.

(2)由(1)得功率P与电阻R之间的关系为

.

(3)由反比例函数性质可得功率P随着电阻R的增大而

.

(4)当电阻最小R=110 Ω时,功率有最

值,P=

,当电阻最大R=220 Ω时,功率有最

值,P=

,所以用电器功率的范围是

.

【师生活动】

学生在教师的问题的引导下思考回答问题,然后完成解题过程,小组代表板书,教师对学生的回答给予评价和指导,并对学生的板书过程进行点评.

解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=.

(2)根据反比例函数性质可知,电阻越大,功率越小.

把电阻的最小值R=110代入P=,得到功率的最大值,P==440(W);

把电阻的最大值R=220代入P=,得到功率的最小值,P==220(W).

因此用电器功率的范围为220~440 W.

1.建立反比例函数模型,解决跨学科问题一般步骤:

(1)审题:弄清题意,分析问题中等量关系;

(2)建模:根据等量关系,将跨学科问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模型.

(3)解模:根据反比例函数的性质解决问题.

2.本节课用到的思想和方法.

1.一定质量的干松木,当它的体积V=2 m3时,它的密度ρ=0.5×103 kg/m3,则ρ与V的函数关系式是

(

)

A.ρ=1000V

B.ρ=V+1000

C.ρ=

D.ρ=

解析:根据物理知识得ρ=,∵体积V=2 m3时,它的密度ρ=0.5×103

kg/m3,∴m=2×0.5×103=1000,∴ρ=.故选D.

2.如果变阻器两端电压不变,那么通过变阻器的电流y(A)与电阻x(Ω)之间的函数关系图象大致是

(

)

解析:依题意,得电压(U)=电阻(x)×电流(y),当U一定时,可得y=(x>0,y>0),∴函数图象为双曲线在第一象限的部分.故选B.

第2课时

1.共同探究一

2.共同探究二

一、教材作业

【必做题】

教材第16页习题26.2第4,6题. 【选做题】教材第17页习题26.2第8题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体,密度ρ(单位:kg/m3)与体积V(单位:m3)满足函数关系式

ρ=(k为常数,k≠0),其图象如图所示,则k的值为

(

)

A.9

B.-9

C.4

D.-4 2.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R,下面说法正确的是

(

)

A.当P为定值时,I与R成反比例

B.当P为定值时,I2与R成反比例

C.当P为定值时,I与R成正比例

D.当P为定值时,I2与R成正比例

3.某同学做物理实验,他使用的蓄电池电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)的关系如图所示,若该电路内的用电器限制电流不得超过8 A,则此用电器的可变电阻R(Ω)的范围应为

(

)

A.R<5

B.R>5

C.R≤5

D.R≥5

4.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m,则y与x之间的函数关系式是

.

本节课探究一以问题串的形式,引导学生层层深入思考,然后小组合作交流,共同探究,建立函数模型,解决与反比例函数有关的跨学科问题,最后归纳总结解决这类实际问题的一般步骤,学生亲身经历知识的形成过程,提高了分析问题、解决问题的能力,提升了数学思维,同时体会了数学在其他学科问题中的应用.探究课本例题,让学生在问题的引导下自主探究,放手让学生从其他学科的公式中确定反比例函数解析式,解决生活中熟悉的实际问题,激发了学生的学习兴趣,使课堂气氛活跃.

本节课的重点是通过建立反比例函数模型解决跨学科的实际问题,设计时为了突出让学生经历知识的形成过程,设计的小问题多,造成课容量较大,在课堂中前松后紧,进行探究二有些着急,教师引导不到位,学生思考时间短.再有涉及的物理知识是学生熟知的,可以考虑不依赖教材,放手让学生思考、探究、交流、归纳,教师只要做到引导者的角色即可.

建立反比例函数模型解决实际问题是本章学习的一个难点,所以本节课的设计是教师在课堂中引导学生判断、分析、归纳,突出学生为主体,教师引导学生经历分析、观察、建模、发现新知、解决新知、归纳总结的过程,让学生在思考、交流活动中共同解决实际问题,提高学生解决问题的能力和数学应用意识,同时培养学生合作意识.