平方根课时教学实录

2.2

平方根(二) 教学目标：

(一)教学知识点

1.了解平方根的概念、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别与联系. 3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. (二)能力训练要求

1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据. 2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识为会学知识. 3.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到PX 们的共同点和不同点. (三)情感与价值观要求

通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者. 教学重点：

1.了解平方根、开平方的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点：

1.平方根与算术平方根的区别与联系. 2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因. 教学方法：

讨论比较法. 即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实. 教学过程：

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

上节课我们学***方根的概念，性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=a，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(－2)2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题. Ⅱ.讲授新课

1.平方根、开平方的概念

［师］请大家先思考两个问题. (1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？

(2)平方等于4的数有几个？平方等于0.64的数呢？

25［生］－3的平方也是9. 24244的平方是，－的平方也是，即平方等于的数有两个. 525525254［生］平方等于9的数有两个，平方等于的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个. 252424［师］根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，是的算术平方根，那么－3，－叫9、的525525什么根呢？请大家认真看书后回答.

［生］－3，－24分别叫9、的平方根. 525［师］那是不是说3叫9的算术平方根，－3也叫9的算术平方根，即9的算术平方根有一个是3，

另一个是－3呢？

［生］不对.根据平方根的定义，一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根(square root)，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，9的算术平方根只有一个是3. ［师］由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答. ［生］平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处. ［师］这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结.

平方根与算术平方根的联系与区别

联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a的平方根表示为±［师］什么叫开平方呢？

［生］求一个数a的平方根的运算，叫开平方(extraction of square root)，其中a叫被开方数. ［师］我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答. ［生］我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 2.平方根的性质

［师］请大家思考以下问题. (1)一个正数有几个平方根. (2)0有几个平方根? (3)负数呢？

［生］第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3；

因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零. 因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根. ［师］太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根. 3.讲解例题

［例］求下列各数的平方根. (1)64；

(2)4.想一想

(1)((2)(a，正数a的算术平方根表示为a. (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. 49；

(3)0.0004；

(4)(－25)2；

(5)11. 12164)2等于多少？(492)等于多少？

1217.2)2等于多少？

(3)对于正数a，(a)2等于多少？

Ⅲ.课堂练习

(一)随堂练习

1.求下列各数的平方根

1.44，0，8，100－，441，196，104

492.填空

(1)25的平方根是_________；

(2)(5)

=_________；

(3)(25)2=_________. (二)补充练习1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由. (1)(－3)2；

(2)0；

(3)－0.01；

(4)－52；

(5)－a2；

(6)a2－2a+2 2.求下列各数的平方根. (1)121；

(2)0.01；

(3)2Ⅳ.课时小结

本节课学了如下内容. 1.平方根的概念. 2.平方根的性质. 3.平方根与算术平方根的区别与联系. 4.求某些非负数的算术平方根和平方根. Ⅴ.课后作业

习题2.4. Ⅵ.活动与探究

1.对于任意数a，2.7；

(4)(－13)2；

(5)－(－4)3

9a2一定等于a吗？

a中的被开方数a在什么情况下有意义，(a)2等于什么？

解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a必须是正数或零，即非负数时有意义. 所以(a)2=a(a≥0) §2.2.2

平方根(二) 板书设计：

一、平方根的定义；

二、例题讲解

三、练习

平方根的性质；

(1)64；

(2)49；

四、小结

121平方根与算术；

(3)0.0004；

(4)(－25)2

五、作业

平方根的区别与联系.

(4)(－25)2；

(5)11

教学反思：

这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示方法，求式子的值都是很容易混淆的。大部分的学生还是能勉强的掌握。但还是要在以后的教学过程中再多让学生分清他们。

2.2 不等式的基本性质

一、教学目标

1.知识与技能：探索并掌握不等式的基本性质；理解不等式与等式性质的联系与区别. 2.过程与方法：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. 3.情感态度与价值观：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. 二、教学重难点

1. 重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 2.难点：能根据不等式的基本性质进行化简. 三、教学方法：类推探究法

四、教学课时：1课时

五、教学过程

（一）创设问题情境，引入新课

我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？

等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差，它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. （二）新课讲授

1.不等式基本性质的推导

等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. 3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 有以上推理你可以得到什么猜想？

不等式性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 11∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3×＜5×. 22［师］同学们又可以得到什么猜想？

结论：在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. 不对，如3＜5，3×（－2）＞5×（－2）

所以上面的总结是错的.

看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. 如3＜4 3×3＜4×3 3×＜4× 3×（－3）＞4×（－3）

3×（－）＞4×（－） 3×（－5）＞4×（－5）

不等式性质2：在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.

［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. 不等式性质3：当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. l2l22.用不等式的基本性质解释＞的正确性

416l2l2l2［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有4164l2＞存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？

16131313133.例题讲解

［例］将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. （1）x－5＞－1;（2）－2x＞3;（3）3x＜－9. 说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否. 4.议一议（小黑板）

讨论下列式子的正确与错误. （1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c; ab（3）如果a＜b,那么ac＜bc;（4）如果a＜b,且c≠0,那么＞. cc在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负数.本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流. 在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，

从而确定不等号的改变与否. 不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条. 区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变. 联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似. （三）课堂练习

1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. 5（1）x－1＞2 （2）－x＜

62.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？

（1）x－6＜y－6 （2）3x＜3y （3）－2x＜－2y

（四）课堂小结：本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质；利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空. （五）课后作业：习题1.2 （六）板书设计

2.2不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

（七）课后反思