正弦、余弦、正切函数的简单应用教案设计（一等奖）

28.1锐角三角函数

第3课时

杜快初级中学校 赵善均 教学目标

1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

2.能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

3.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

教学重难点

【重点】

熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

【难点】

30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习锐角三角函数的定义.

教学过程

1、 新课导入

导入一:

如图所示,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?

如图所示,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?

【师生活动】

学生思考后,小组合作交流,回答解决方法,教师点评,导出新课.

结合学生回答,教师分析:过C点作AB的垂线CD,垂足为D,∵sin A= ,∴CD=ACsin 60°.

[过渡语]

AC是已知的,假如sin 60°能够知道,CD就可求,那么这个问题就得到解决.本节课我们就一同来探讨30°,45°,60°角的三角函数值.

导入二:

【复习提问】

1.什么是锐角的正弦、余弦、正切?

2.含30°,45°角的直角三角形有哪些性质?

3.你还记得我们探究锐角的正弦概念时所得的30°,45°角的正弦吗?

4.你还能推导出30°,45°,60°角的其他三角函数值吗?

[设计意图]

通过生活实际问题导入新课,激发学生的求知欲望,感受生活中处处有数学,复习直角三角形的性质和三角函数的概念,为本节课特殊角的三角函数值的推导打下基础,做好铺垫,让学生从已有的知识体系中很自然地构建出新知识.

2、新知构建

[过渡语]

探究30°,45°,60°角的三角函数值就是我们本节课要学的内容.

一、实践探究

思路一

动手操作:画出含有30°,45°角的直角三角形,分别求出30°,45°,60°角的所有三角函数值.

【师生活动】

学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.

【课件展示】

锐角A

锐角

三角函数

sin A

cos A

tan A

1

30°

45°

60°

【思考】

观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?

【师生活动】

学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.

【结论】

(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.

(3)0

思路二

【思考】

(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边和斜边之间有什么关系?

(2)设30°角的对边为k,你能用k表示三角形的各边长吗?

(3)利用三角函数定义,分别求出30°,60°角的各三角函数值.

(4)含有45°角的直角三角形有什么特点?

(5)设等腰直角三角形的腰长为k,你能用k表示直角三角形的斜边吗?

(6)利用三角函数定义,求出45°角各三角函数值.

【师生活动】

学生逐步回答教师提出的问题,通过计算得出30°,45°,60°角的各三角函数值.师生共同完成下表:

【课件展示】

锐角A

锐角

三角函数

sin A

cos A

tan A

1

30°

45°

60°

【思考】

(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化?

(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?

(3)根据(2)猜想正确结论.

(4)观察表格中数据,锐角α的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系?

【师生活动】

学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.

【结论】

(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.

(3)0

[设计意图]

学生在教师提出的问题的引导下,完成特殊角的三角函数值的推导,并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.

二、例题讲解

(教材例3)求下列各式的值.

(1)cos260°+sin260°;

(2) ° °-tan 45°.

教师引导思考:

(1)你知道cos260°与sin260°表示的意义吗?

(cos260°表示(cos 60°)2,sin260°表示(sin 60°)2)

(2)cos 60°,sin 60°,cos 45°,sin 45°,tan 45°各等于什么值?

(3)将各三角函数值代入,计算各代数式的值.

(教材例4)(1)如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=

,BC=

,求∠A的度数;

(2)如图(2)所示,AO是圆锥的高,OB是底面半径,AO=

OB,求α的度数.

【思考】

(1)图(1)中,在Rt△ABC中,边长AB,BC与∠A有什么关系?sin A= =

=

(2)哪个锐角的正弦值等于

?sin 45°=

(3)图(2)中,在Rt△AOB中,OB,AO与α有什么关系?tan α= =

(4)哪个锐角的正切值等于

?(tan 60°=

)

【师生活动】

学生独立思考后,小组合作交流,完成解答过程,小组代表板书解题过程,教师点评,师生共同归纳解题方法.

解:(1)∵sin A= =

=

,∴∠A=45°.

(2)∵tan α= =

=

,∴α =60°.

【归纳】

要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊值,那么我们就可以求出这个角的度数.

[知识拓展]

(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值,从而记住结果.

(2)对于其他相关角的三角函数值,往往用定义求解,15°,22.5°,75°角等.

(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°,45°,60°角相关联的其他三角形问题,常常要用特殊角的三角函数值解答.

3、课堂小结

1.特殊角的三角函数值:

锐角A

锐角

三角函数

sin A

cos A

tan A

1

30°

45°

60°

2.求含有特殊角的三角函数的代数式.

3.已知特殊的三角函数值求特殊角.

4、检测反馈

1.计算3tan 30°的值等于

(

) A.

B.3

C.

D.

2.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sin A=

,且∠B=90°-∠A,则sin B等于

(

)

A.

B.

C.

D.1

3.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sin A=

,cos B=

,则△ABC的形状为

三角形.

4.计算.

(1)2sin 30°-

cos 45°; (2)tan 30°-sin 60°·sin 30°;

(3)

- °

.

5、板书设计

第3课时

1.实践探究

特殊角的三角函数值

2.例题讲解

例1

例2 6、作业布置

一、教材作业

【必做题】

教材第69页习题28.1第3题.

【选做题】

教材第84页复习题28第3题.

教学反思

成功之处

本节课通过复习三角函数定义,为特殊角的三角函数值的推导打下基础,同时以生活实际问题导入新课,让学生体会数学与生活联系紧密,激发学生的学习兴趣.通过特殊角所在直角三角形边之间的关系及勾股定理和三角函数定义,推导出特殊角的三角函数值,内容比较简单,学生独立完成后,小组交流答案,通过教师引导填写表格,加深学生对特殊角的三角函数值的记忆,学生动手、动脑,提高了分析问题的能力.例题中求代数式的值,学生独立完成,教师点评,再次加深对特殊角的三角函数值的记忆,整节课课堂气氛活跃,人人学到有价值的数学.

不足之处

本节课的重点是探究特殊角的各三角函数值,并能计算和特殊角的三角函数值有关的代数式,学生能够通过自主学习完成本节课的学***多数学生在课堂上表现积极活跃,但在推导出特殊角的三角函数值后,没有给学生足够的时间去记忆,应该同桌之间或组内成员之间互相出题,重点考查特殊角的三角函数值的记忆,为后边的学习做好铺垫.