不等式的解与解集、解集在数轴上表示，一元一次不等式的概念和解法名师教学视频（文字实录）

《9.1.2不等式的性质（1）》教学设计

1 教学背景

1.1教材内容解析

本节课是在学生学习了等式的性质，掌握了一元一次方程解法的基础上，研究不等式的性质。不等式的性质是解不等式的重要依据。因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础。

通过类比等式的性质，观察具体数值、归纳不等式的性质，既能让学生感受运算中的不变性，获得猜想，又能让学生从具体到抽象，用符号语言表述结论。理解不等式的性质，一是辨析，特别是不同于等式的性质；二是应用，即利用不等式的性质将不等式逐步化为xa或xa的形式，解简单的不等式。

1.2

学生特征分析

学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三，知道不等式的概念；第四，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力和合情推理能力。

学生认知的主要障碍是：第一，探索不等式性质时，如何与等式性质进行类比，类比什么，思路不是很清晰；第二，探索不等式性质2,3时，由于学生思维的片面性，会产生考虑不到不等式两边乘或除以同一个负数的情况；第三，运用不等式性质时，由于已有知识经验产生的负迁移，学生不理解运用性质3时，为什么改变不等号的方向，以及在不等式的等价变形时，什么时候要改变不等号的方向。

2 目标和目标解析

2.1目标

（1）探索并理解不等式的性质。

（2）体会探索过程中所应用的归纳和类比方法。

2.1目标解析

达到目标（1）的标志是：学生能通过观察、比较具体数字运算的大小，联系等式性质，归纳出不等式

1

的性质。面对变形后的式子，能利用不等式性质判断它们的大小。

达到目标（2）的标志是：学生能通过反思，总结探索过程，了解归纳和类比是获得数学发现的常用方法。

3 重点与难点

基于对教材内容的分析，本节课的教学重点为：探索不等式的性质。

基于对学生特征分析，本节课的教学难点为：不等式性质3的探索及其理解。

4 教法与学法分析

为充分调动学生的积极性，突出重点，突破难点，以达到本节课所设定的教学目标，加深学生对不等式性质的理解，考虑到学生的实际情况，我确定了本节课采用问题引领，自主探究，合作交流的教学方法，以高质量的问题启发引导学生进行自主探究，将学生的独立思考，小组交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体作用，变被动学习为主动学习，从而达到最佳教学的效果。

5 教学手段分析

结合本节课的实际情况我主要采用多媒体，投影仪和黑板相结合的方式。

6 教学过程分析

6.1

复习引入

问题1：你能用文字语言和符号语言描述等式的性质吗？

师生活动：学生通过回忆回答问题，并由师生共同整理成表1.完成表1后，教师归纳：等式的性质就是从加减乘除运算的角度研究运算的不变性。

表

1 等式性质

文字语言

符号语言

2

等式两边加（或减）同一个数（或式子），如果ab，那么acbc，性质1 结果仍相等。

等式两边乘同一个数，或除以同一个不性质2 为0的数，结果仍相等。

acbc。

如果ab，那么acbc。

如果ab（c≠0），那么acbc。

设计意图：本表由学生在学案上独立完成，并由一名学生代表逐条写在黑板上，保留至探究完不等式的性质，并将不等式的性质列于其旁。对比表1中的等式性质，有利于学生探索发现和正确表达（文字语言和符号语言）不等式的性质。

6.2

探究新知

对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式x36的解集是x3，不等式2x8的解集是x4。但是对于比较复杂的不等式，例如5x162x54，直接得出解集就比较困难。因此，还要讨论怎样解不等式。与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质。为此，我们先来看看不等式有什么性质。

问题2 为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算开始。用“<”或“>”完成下列两组填空，你能发现其中的规律吗？

（1）5>3，5+2___3+2，5+(-2)_____3+(-2)，5+0____3+0; （2）-1<3，-1+2__3+2，-1+(-3)____3+(-3)，-1+0___3+0. 师生活动：学生完成填空。教师引导学生类比等式性质1，观察不等式加法运算中的不变性，即不等号的方向是否改变。教师在表1旁边画一个与表1类似的表格，由学生叙述发现的规律，并在黑板上进行板书，并对比等式性质1进行修正。教师指出：减去一个数等于加这个数的相反数，所以不等式两边减同一个数（或式子）的情况可以转化为不等式两边加同一个数（或）式子的情况，从而获得猜想1：当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号方向不变。

追问：猜想1是否正确？如何验证？

3

师生活动：让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想1进行验证。教师从中选取一些典型例子进行展示，师生共同讨论、确认猜想1的正确性，从而获得一般性的结论。即不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

设计意图：研究运算中的不变性，首先研究加法运算。让学生通过比较具体数字加一个正数、负数、0之后的大小，观察不等号的变化，发现并归纳其中的规律，从而提出猜想。然后，让学生自己从所加（减）数字分别取正数、负数、0的不同情况入手分析，通过举例验证，确认猜想1，从而获得不等式的性质1.但值得注意的是，举例验证虽是确认猜想的一种方法，但结论的正确与否仍需严格证明。

问题3 类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质1用符号语言表示吗？

师生活动：学生将文字语言转化为符号语言，并由学生将结论填写在表格中。

设计意图：用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性，发展学生文字语言与符号语言相互转化的能力。

问题4 研究完不等式两边加（或减）同一个数（或式子）的情况，对比等式的性质，下面我们要研究什么问题？如何研究？

师生活动：学生回答，教师修正，明确研究方向：不等式两边乘（除以）同一个数的情况。师生先考虑不等式两边乘0的特殊情况，教师再指出，除数不能为0，因而下面分不等式两边究。

用“<”或“>”填空，并总结其中的规律：

（1）6>2，6×5___2×5，6×(-5)_____2×(-5); （2）-2<3，（-2）×6__3×6，（-2）×(-6)__3×(-6）。

学生完成填空。教师引导学生类比等式性质2，观察不等式乘法运算中的不变性，即不等号的方向是否改变。由学生叙述发现的规律，并对比等式性质2进行修正。教师指出：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以不等式两边除以同一个数的情况可以转化为不等式两边乘同一个数的情况，从而获得猜想2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，和猜想3：不等式两边乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4

让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想2和3进行验证。教师从中选取一些典型例子进行展示，师生共同讨论，确认猜想2和3的正确性，从而获得一般性的结论，即不等式的性质2和3，并将其符号表示填写在表格中。

设计意图：不等式性质2,3完全放手给学生自主探索，让学生类比等式的性质2和不等式性质1的研究过程，经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的思考过程。教师要及时返现学生自主探索中的问题，并组织学生共同讨论典型问题，突破难点。

问题5 等式性质与不等式性质的主要区别是什么？

师生活动：师生共同总结，以表格形式归纳。此表格（表2）的生成是在上课过程中逐条适时添入，呈现在黑板上，而非以ppt形式一次给出。

表2 等式性质

文字语言

符号语言

不等式性质

文字语言

符号语言

等式两边加（或如果ab，那减）同一个数性质1 （或式子），结果仍相等。

么acbc，不等式两边加（或减）如果ab，那么同一个数（或式子），性质1 不等号方向不变。

不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等性质2 号方向不变。

如果ab，c0，那么acacbcacbc。

，acbc。

等式两边乘同如果ab，那一个数，或除以么acbc。

性质2 同一个不为0的数，结果仍相如果abacbcbc，（或）。

（c≠0），那么

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等。

acbc。

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等性质3 号方向改变。

如果ab，c0，那么acacbcbc，（或）。

设计意图：引导学生再次将等式性质与不等式性质进行对比。通过表格让学生对比它们的相同点与不同点，有利于学生更好地掌握不等式的性质。

6.3

运用新知

例1 设ab，用“<”或“>”填空，并说明依据不等式的哪条性质：

（1）3a____3b

（2）a8____b8

（3）

-2a____-2b

（4）2a5____2b5

（5）3.5b1____3.5a1

师生活动：学生依据不等式性质对不等式ab进行变形，得到结果，本题由学生讲解。

练习1 判断正误。

（1）如果a＞b，那么ac＞bc。

（2）如果a＞b，那么ac2＞bc2。

（3）如果ac2＞bc2,

那么a＞b。

例2 若a>b，则下列不等式中，成立的是（

）

a2b2（A）a6b6

（B）3a3b

（C）

（D）a1b1

师生活动：小组讨论后，学生选出答案，由一位同学到黑板逐个说明理由。

练习

根据不等式的性质填空。

（1）若-m>5，则m______-5.

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（2）如果a>-1,那么a-b ______-1-b. （3）3.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得_______.

设计意图：由浅入深的练习帮助学生进一步理解不等式的性质，为下节课利用不等式性质解不等式作准备。

6.4

归纳总结

师生共同总结本节课内容，并请学生回答下列问题：

（1）不等式的性质是什么？不等式性质与等式性质的联系与区别是什么？

（2）在研究不等式性质的过程中运用了哪些数学思想方法？

设计意图：引导学生对本节课知识进行梳理，使学生掌握不等式的性质。

6.5

达标检测

测试1 用“>”或“<”填空：

（1）如果ab，那么ac___bc；

（2）如果ab，且c0，那么ac___bc；

（3）如果ab，且c0，那么a___bcc。

设计意图：本题主要考查学生对不等式性质的符号表示的掌握。

测试2 若a>b，则下列不等式中不成立的是（

）

（A）a3b3

（B）3a3b

（C）ab33

（D）ab

设计意图：本题主要考查学生是否会利用不等式性质对不等式进行简单变形。测试3 按下列要求，写出仍能成立的不等式：

（1）x26，两边都减去2，得______________；

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（2）x50，两边都加上-5，得______________；

（3）35m2，两边都除以3587，得_____________；

（4）78x1，两边都乘，得_____________；

设计意图：本题主要考查学生对不等式性质的掌握。

6.6

布置作业

必做题：教科书习题9.1第4,6题．

选做题：（1）教科书复习题9第5题。

（2）比较a与2a的大小。

设计意图：通过分层作业的设置，对不同的学生提出不同的要求。教材是根本，所以在布置作业的同时，要求学生课后仔细阅读教材中的相关内容，做好复习。对学有余力的同学，通过选做题（2）进一步体会分类讨论的数学思想。

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