二次函数求实际问题中的最值ppt配套教案板书设计

30.4二次函数求实际问题中的最值(二) 教学目标

(一)教学知识点

1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

2．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．

3．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．

4．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

教学重点

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

教学难点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．

教学方法

探究法、讲练结合．

教具

多媒体

教学过程

一．创设问题情境，引入新课

如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？

(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

解(1)∵BC∥AD，

∴△EBC∽△EAF．∴EBBC．

EAAF又AB＝x，BE＝40－x，

40xBC3．∴BC＝(40－x)．

4030433∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．

4433(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x

443＝－(x2－40x＋400－400) 43＝－(x2－40x＋400)＋300 43＝－(x－20)2＋300．

4∴当x＝20时，y最大＝300．

即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．

变式：设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？

解：∵DC∥AB，

∴△FDC∽△FAE．

∴DCFD．

AEFA∵AD＝x，FD＝30－x．

DC30x．

40304∴DC＝(30－x)．

3∴

4(30－x)．

34y＝AB·AD＝x·(30－x) 34＝－x2＋40x

34＝－(x2－30x＋225－225) 34＝－(x－15)2＋300．

3∴AB＝DC＝当x＝15时，y最大＝300．

即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．

二．例

某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？

解：∵7x＋4y＋πx＝15，

∴y＝157xx．

4设窗户的面积是S(m2)，则

1πx2＋2xy

21157xx＝πx2＋2x·

241x(157xx)＝πx2＋

22S＝＝－3.5x2＋7.5x

15x) 7151575＝－3.5(x－)2＋．

14392＝－3.5(x2－

15≈1.07时，

141575S最大＝≈4.02．

392∴当x＝即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．

三、议一议

现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．

解决此类问题的基本思路是：

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)做函数求解；

(5)检验结果的合理性，拓展等．

四．课堂练习

一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？

解：设AB长为x

m，则BC长为(116－2x)m，长方形面积为S

m2，根据题意得

S＝x(116－2x)＝－2x2＋116x＝－2(x2－58x＋292－292)＝－2(x－29)2＋1682．

当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．

即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2．

五．课时小结

本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．

六．课后作业

习题1、2 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等1于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的2函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

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30.4二次函数求实际问题中的最值

探究

例

练习