二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质名师教学实录

第3课时

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

01

教学目标

1．会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．

2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．

02

预习反馈

阅读教材P35～37，自学“例3”与“例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成下列内容．

1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定：

(1)当h>0，k>0时，把抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度，再向右平移h个单位长度；

(2)当h>0，k<0时，把抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度，再向右平移h个单位长度；

(3)当h<0，k>0时，把抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度，再向左平移|h|个单位长度；

(4)当h<0，k<0时，把抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度，再向左平移|h|个单位长度．

2．从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：

(1)如果a>0，当xh时，y随x的增大而增大；

(2)如果a<0，当xh时，y随x的增大而减小；

3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)．

4．函数y＝4(x＋1)2－2的图象是由函数y＝4x2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．

5．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是向下，其顶点坐标是(1，－3)，对称轴是直线x＝1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．

03

名校讲坛

1例1

(教材P35例3)画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，并指出它的开口方向、对称211轴和顶点．怎样移动抛物线y＝－x2就可以得到抛物线y＝－(x＋1)2－1? 221【解答】

函数y＝－(x＋1)2－1的图象如图所示．

2

1抛物线y＝－(x＋1)2－1的开口向下，对称轴是x＝－1，顶点是(－1，－1)．

21把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y2

1＝－(x＋1)2－1. 2思考：还有其他平移方法吗？

1把抛物线y＝－x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度．

2

【跟踪训练1】

(《名校课堂》22.1.3第3课时习题)画出函数y＝(x－1)2－1的图象．

解：列表：

x y …

…

－2

8

－1

3

0

0

1

－1

2

0

3

3

4

8

…

…

描点并连线，如图．

例2

(教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？

【思路点拨】

由题意，抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，可知抛物线在此处到达最高点，此处为抛物线的顶点，故可据此建立平面直角坐标系．同时，求水管的高度，即求抛物线与y轴交点的纵坐标．

【解答】

以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图．

因为点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，

所以可设这段抛物线对应的函数解析式是y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．

由这段抛物线经过点(3，0)，将x＝3，y＝0代入解析式，得0＝a(3－1)2＋3，解得a＝3－. 43因此y＝－(x－1)2＋3(0≤x≤3)．

43当x＝0时，y＝－(0－1)2＋3＝2.25，即水管应2.25 m长．

4

04

巩固训练

1．将抛物线y＝－3x2向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线y＝－3(x－2)2＋5；将抛物线y＝x2－1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y＝(x－1)2－3．

【点拨】

抛物线的移动主要看顶点位置的移动．

2．若直线y＝3x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．

【点拨】

此题为一次函数与二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．

3．已知A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y1>y3>y2．

4．填表：

解析式

y＝－5x2

1y＝x2＋5 2y＝－3(x＋4)2

y＝4(x＋2)2－7 开口方向

向下

向上

向下

向上

对称轴

y轴

y轴

x＝－4 x＝－2 顶点坐标

(0，0) (0，5) (－4，0) (－2，－7)

05

课堂小结

1．本节所学知识：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移规律．

2．所用的思想方法：从特殊到一般．