2.2.3 两条直线的位置关系PPT及课堂实录内容

营口市

盖州市第一高级中学

数学组

《两条直线的位置关系》

第二课时

本节课是人教B版，必修二

2.2.3两直线的位置关系一节的第二课时。它是在讲解了两条直线位置关系的判断方法及基本题型后的延伸及巩固练习。

新课标中要求在解析几何部分中，“首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会‘数形结合’的思想方法。”

为了达到新课程标准，例题、练习就是必不可少的，它是学生巩固、理解、掌握并熟练运用所学知识，发展数学能力，培养数学思维及创新精神的重要途径。恰到好处的题目，能使学生快速的理解所学知识并达到熟练运用，逐步掌握多种数学思想方法，提高数学解题能力，达到举一反三、触类旁通的效果。因此要想充分发挥例题、练习的功能，教师必须在新课标的理念下精心设计好例题、练习，才能实现有效地教学。

教学目标

熟练掌握两条直线平行的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

重点、难点分析

重点是两条直线的平行的判断；

难点是利用两条直线的平行求参数的值。

下面以这一节课的例题设计为例进行分析说明：

例1：判断下列各组中两条直线的位置关系

（1）直线l1经过点A（-1，-2），B（2,1），l2经过点M（3,4），N（-1，-1）

（2）直线l1经过点A（0,1），B（1,0），l2经过点M（-1,3），N（2,0）

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（3）直线l1斜率为1，l2经过A（1,1），B（2,2）

（4）直线l1经过点A（-3,2），B（-3,10），l2经过点M（5，-2），N（5,5）

【设计意图】第一课时利用直线方程的斜截式判定两条直线的位置关系已经练习了，这节课由直线上两点判定位置关系。通过这道问题的设置，让学生了解不论用怎样的条件给出，研究两条直线的位置关系时，可以通过直接看斜率的方法解决，但是在应用这种方法时，要注意斜率不存在的特殊情况。

例2：两条直线kxy10和直线xky10互相平行，求k的值

本道题是对第一课时的简单应用，在教学时，我会请不同层次的学生板书，了解他们对此类问题的分析方法，同时可以看到个人的不足。在教学中，我看到学生主要有四种解题思路，分别找到各解法的代表板书。

（法一）：将两方程联立，如果无解，则说明两直线平行

采用此类方法的学生不多，但有必要提一下，以为后面要学习的解析几何打基础。

（法二）：用斜率（存在，不存在）

1当k0时，-k

k当k0时，两条直线为y1,x1,不平行采用此类方法的人数约占一半，出错点主要是没有考虑斜率为零的这种特殊情况。看到学生的思路不是很严谨，说明平时在教学中强调的不够，学生还没有完全达到自主学习的状态。

（法三）：比例式

上

（法四）：整式

k11(k0)

当k=0时，两条直线方程同1k12k1

且1k1

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应用整式形式求参数值时，要注意验证两条直线是否重合

采用此种方法的学生，大多是平时学习比较认真的。能够比较熟练的使用通法，对于不同形式的问题，可以看到它的本质，学习自主性较强。

（此类问题，在综合复习中，还可以引入方向向量来解决问题。）

【设计意图】从认知的过程看，学生对待学生是有一定的惰性，也有一定的惯性。对于由两直线的位置关系来求参数值这类问题，学生比较容易记忆的是斜率与比例这两类方法，可是在新授课上，由于时间的关系，只是强调了注意事项，却没有时间处理这类型的问题，因此学生只能记住方法，却容易忽略特殊情况。第二课时的习题，正好弥补了这个不足，使学生在处理问题的过程中，思路趋于清晰，思维变得严谨，并能深入理解分类讨论方法的依据。

从这道例题的分析，可以进一步引导学生得出判断两直线平行的结论：

①若两条直线的斜率相等或都不存在，则这两条直线平行。

②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在。

<变式>：直线xmy60与(m2)x3my2m0没有公共点，2求m的值

【设计意图】这道问题的说法和上道题不同，但是从本质上看，没有公共点就是平行，这是学生初中就已经接触过的。因此这道的目的就是对于利用两直线平行来求参数值这类题型进行进一步的熟练及巩固，使学生能够深化对分类讨论方法的理解与应用。

例3：求过点P且平行于直线l的直线的方程

（1）P（3,2）

l:4xy50

（2）P（2，-3）

l：过两点M（1,2），N（-1，-5）

【设计意图】根据平行的两直线x,y系数所满足的关系，可以得出与已知直3

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线AxByC0平行的直线的一般形式AxBym0(mC)。

这时可以引导学生：“在这个方程形式中，有几个未知数，怎么样求出这些未知数呢？”通过这种简单问题的提问，使学生思考并自己总结出方法：只要将已知点坐标代入，就可以得到一个方程，从而解出一个未知数m。

借助问题（1）的解决方式，尝试让学生自己处理问题（2）。用心的学生会发现，问题（2）与（1）的不同之处即为没有给出直线方程，那么要怎么办呢，透过这样简单的问题，引导学生的思路，从而使问题简单化。

例4：求直线l：2x3y60关于点P（1，-1）对称的直线方程

（法一）：通过图像发现对称直线与原直线平行，由于点到直线距离未涉及，因此可在原直线上取点，确定该点关于点P的对称点，在所求直线上。应用点斜式写方程。

（法二）：在原直线上取两点，它们关于点P的对称点都在所求直线上。利用两点式写直线方程。

（法三）：（代点法）在所求直线上设点，它关于点P的对称点p在已知直线上，将p的坐标代人已知直线方程，求x,y满足的关系式即为所求直线方程。

【设计意图】这类问题是解析几何中的常见题，由于解析几何的计算量比较大，对于学生来说，是比较难的。因此，这类问题的解题思路就显得尤为重要。这道题，我想要由浅入深的为学生逐步剖析这三种解法。

首先，从图像出发，画出已知直线关于点P的对称直线，观察两者之间的关系，分组研究，找代表发言。学生不难总结出这两条直线是平行的关系，从而设出所求直线的方程，此时方程中含有一个未知数。

进一步引导学生考虑如何用所学的知识求出这个未知数呢？仍然采用分组讨论的方法，让学生的知识得到充分的展现。由学生会想到在已知直线上找一4

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个特殊点，求出它关于点P 的对称点，这个对称点就在所求直线上。

然后，教师可以继续引导，直线是由两点确定，只要找到两点，直线的方程但也是可以求得的。沿用分组讨论——代表发言的方法，让学生自己研究如何找到所求直线上的两个点？引出解法二

仔细剖析直线方程的本质——直线上点的横纵坐标所满足的等式。从这个意义出发，设所求直线上的任意一点（x,y），再找到x,y之间的关系式，就是直线方程。怎么样找呢？引发学生的思维，引出代点法。

例5：已知平行四边形ABCD中，A（1,1）,B（-2,3）,C（0，-4），求D点坐标

（法一）：两组对边分别平行

（法二）：两条对角线互相平分

（法三）：一组对边平行且相等

在综合复习时，此类问题还可以利用向量相等的理论解决

【设计意图】求平行四边形的顶点坐标，并不是很难的题型。但因学生没有较强的计算能力，导致即使想到方法，也不能够自信，不敢落在笔头上。通过这道题，我想要培养学生在学习上坚忍不拔、勇往直前的精神。教会他们有了想法后，要勇于落实，要自信的良好品质。

本题之所以从三个角度讲解，是希望学生可以明白，方法固然重要，但是目的及入手点才是解题的关键。只要抓住不同的图形独特的特点，从该点出发，就一定可以有成功的体验。

<变形1>：顺次连结A（1,1）,B（-2,3）,C（0，-4）,D（-3，-2）四点所形成的图形为

这道问题可以类似的应用两组对边是否平行来判断。

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【设计意图】本题知识例5的小变形，解题的想法上有很强的相通性。在这道题中，提出问题：“研究四边形的形状时，应该从什么方面考虑？”由于四边形的最主要的区分点就是对边是否平行，所以这道题的关键仍是研究两直线平行的问题。

<变式2>：由A、B、C、D四点构成的平行四边形中，A（1,1）,B（-2,3）, C（0，-4），求第四点D的坐标

【设计意图】本变式和例5从内容上看非常相似，但要提醒学生认真审题，对培养学生思维的严密性有很好的促进作用。通过本题努力使学生认识到画图时，一定要注重原题中的要求，四边形的四个顶点要按顺序标出。

两条直线平行的位置关系，看似简单的内容中间，包含着很多易错点。通过这节习题课的学生，我希望学生学会研究两条直线位置关系的方法及解题方向。为下一节课《两条直线的位置关系——垂直》的解题方法及思路打下坚实的基础。

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张金龙

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