阅读与思考 九连环第二课时教学设计

阅读与思考

九连环

安徽芜湖县一中

李文强

一、教学目标：

1.

知识与技能：（1）理解用化归、递归、类比等思想解决九连环计数问题的方法; （2）能在具体问题情境中发现数列的递推关系. 2.

过程与方法：（1）经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程;（2）体会求解过程中的化归、递归、类比、函数、归纳等思想方法. 3.

情感、态度与价值观：（1）通过了解九连环的历史，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感;（2）通过学生课前、课内、课后自主、合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力和创新精神.（3）通过九连环计数数列使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践. 二、教学重点难点：

重点：1、如何拆解九连环；

2、将九连环问题转化为数列问题. 难点：1、将九连环问题转化为数列问题. 2、解n连环的最少移动步数. 三、学法指导：探索式教学. 四、教具：教师自备多个九连环，多媒体辅助教学. 五、教学过程：

（一）、介绍历史，引入新课：

九连环是中国人的发明，这是没有疑问的。宋代（公元960－1279）已经流行，至少已有800年历史。但究竟何时发明，还有不同的说法。

1、战国说：《战国策。齐策六》：“秦昭王尝遣使者遗君王后玉连环，曰：“齐多智，而解此环否？”君王后以示群臣，群臣不知解，君王后引锥椎破之，谢秦使曰：“谨以解矣！’”

2、西汉说：西汉司马相如与妻子通信，妻子回信中有：

一别之后，二地相思。

都说是三四月，谁又知五六年。

七弦琴无心弹，八行书不可传。

九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿！

百思想，千系念。万般无奈，把郎怨。

3，三国说：认为是诸葛亮发明，这许是由孔明锁推论而来。

宋朝以后，九连环开始广为流传.在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它.它是我国古代四大益智游戏之一，与七巧板、华容道、孔明锁一起被称为中国古典益智游戏中的“四大金刚”. 今天这节课我们要着重研究一下九连环. （二）、认识九连环，提出问题

1、介绍九连环的结构

环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄把环杆板柄钗环环杆

2、归纳解环规则

课前进行学情调查，几乎没有同学会解九连环.

因此让学生在课前进行小组合作，探究解环规则，在课内进行交：

（1）第一环可以自由上（下）；

（2）要想上（下）第n环（n2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环都不在环柄上

（3）描述连环状态．

教师提示学生运用数学中的“二进制”表示连环状态: 在柄上记为

1，在柄下记为

0．(4) 明确任务，提出问题；教师向学生明确任务: 解九连环就是将九连环从满贯状态

111111111 变到零状态

000000000．提出问题：在这个过程当中有什么数学问题?

解九连环（从满贯状态到零状态）最少需要多少步? （三）、探究规律，解决问题

1、讨论解决方案

2、解三连环、四连环．

3、解五连环比赛，分享经验．让学生以小组为位解五连环，操作: 将五连环从“满贯状态”变成“零状态”．记录: 五连环经过哪些变化状态? 探究: 上述变化过程中有什么规律? 并请每个小组派代表上台比赛解五连环．

4、类比得解九连环过程：要解下九连环，必须先解下前七环；要解下前七环，必须先解下前五环；要解下前五环，必须先解下前三环；要解下前三环，必须先解下第一环.它们之间存在着一种递推关系，故可以用刚学过的递推数列来表示，用通项an表示解下前n环所需的最少移动次数.要解下九连环须分为四个步骤（1）.解下前七环；（2）.解下第九环；（3）.套上前七环；（4）解下前八环.可以得到：a92a7a81再归纳得到一个递推公式：an2an2an11.

利用递推公式可得：

a11a22a32a1a215a52a3a4121a72a5a6185

a42a2a3110a62a4a5142a82a6a71170a92a7a81341因此，解九连环最少需要移动圆环

341 步．

（四）、探究规律，解决问题

我们已经得到a9，那么如何利用这个递推公式an2an2an11求通项an呢？

方法一：

解：(1)an2an2an11an12an3an21(1)(2):anan22(an1an3)记bnanan2则(1)(2)

anan12an2an12an3an2bn2bn1当n3时，数列bn为等比数列

(2)由(1)知bnb3qn342n32n1anan22n1

当n为奇数时：a3a122a5a324a7a526anan22n1以上式子相加:ana12224262n1an202224262n112n11n1(21)2312当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22n1以上式子相加:ana22325272n1an212325272n12(12n)1n1(22)2312

综上知

1n1(22)31n1(21)3当n为偶数时当n为奇数时

an{华生问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R. Watson）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？

方法二：

解：由f(n)2f(n2)f(n1)1,(n3)得

f(n)f(n1)2[f(n2)f(n1)]1,(n3)

记anf(n1)f(n)，则an2an11(n2)且a1f(2)f(1)3

由an2an11(n2)得an12(an11)

}为等比数列，公比为2，首项为a114

于是数列{an1所以an142n12n1，所以an2n11。

即f(n1)f(n)2n11

（1）

设f(n1)r2n1p(1)[f(n)r2np]，则

f(n1)f(n)3r2n2p

（2）

对比（1）（2）两式可知3r2且2p1

于是r即f(n1)21,p

322n11212(1)[f(n)2n]

32322n1211于是有数列{f(n)2}为等比数列，公比为-1，首项为f(1)2。

323262n11n1所以f(n)2(1)

32612n1n1于是有f(n)(1)2。

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（五）、小结：（1）解九连环的诀窍

（2）本节课的收获：知识、思想、方法等方面

六、课外探究题：

（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题

（2）了解中国古代四大益智游戏：九连环、华容道、七巧板、孔明锁

（3）教材本章复习参考题B组第6题.

已知数列{an}中，a15,a22,an2an13an2(n3)，对于这个数列的通项作一研究，能否写出它的通项公式？

七、板书设计：

1、九连环的玩法

2、九连环的步数

（1）第一环可以自由上（下）

（2）要想上（下）第n环（n>2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环不在环柄上

八、教后感：