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§3.2一元二次不等式的解法

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】

一元二次不等式的解法。

【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

1讲授新课

我们知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.

（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax 2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2=等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x≠（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

Δ=b2-4ac

Δ＞0 Δ=0

Δ＜0 b,则不2ab}；不等式ax2+bx+c＜02a

二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象

ax2+bx+c=0的根

ax2+bx+c{x|x＜x1或{x|x≠b} R 2a

x1.2b

x1=x2=

b2a2a＞0的解集

x＞x2} ax+bx+c2{x|x1＜x＜



＜0的解集

x2}

对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 2.

例题讲解

例1

已知关于x的不等式：(a-2)x2 + (a-2)x +10对任意x∈R都成立，试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1, ①当a=2时，y=1符合题意；

②当a>2时，则△≤0，有2

③当a<2时，则a∈空集；

综上，所求a的取值范围为[2,6]

2例2不等式mxmx10的解集为，求m的取值范围。

解：

1m0,原不等式可化为10,此时矛盾，x

2m0,由题意，m只能小于零，0

m0m00m24m04m0

综合1,2,可以得到m的取值范围4,0

例3：已知不等式（a-2)x2+2(a-2)x-4<0对于一切实数x恒成立，求的范围。

解：

1、a2成立2、a2002a2

综上：a(2,2]例4：设集合A={ x | x2-4x+3≤0 }

，B={

x | x2-ax < x-a } ，求a的范围。

解：

A[1,3]B:(xa)(x1)0当a1,满足BA当a1时，1xa,满足BA1a3综上：1a3

3课堂练习：

2mx23mx50的解集为R，求m的取值范围.

a

若

40答案：09，

4：课堂小结：

（1）.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.

（2）.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 【布置作业】

P90习题3.2

A组第1、2题. 【板书设计】

3.2.1一元二次不等式及其解法

一. 教学目标：

二.教学重点.难点 例题1 例题2 例题3 例题4 三. 教学过程 求解一元二次不等式的步骤