1.不等式的基本性质优秀教案案例

不等式的基本性质

课程目标：体会不等关系是基本的数学关系之一，通过对不等式基本性质的回顾和复习，加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点

重点：掌握不等式的基本性质及其讨论方法。

难点：类比等式的基本性质，提出不等式基本性质的猜想。

教学过程：

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在图6－1中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b．

我们再看图6－1，a＞b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数．一般地：

如果a＞b，那么a－b是正数；逆命题也正确．

类似地，如果a＜b，那么a－b是负数；如果a=b，那么a－b等于0．它们的逆命题都正确．

这就是说：

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．

例1

比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．

解：(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)

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=－7＜0，

∴(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)．

例2

已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．

解：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1) ＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1 =x2．

由x≠0，得x2＞0，从而

(x2＋1)2＞x4＋x2＋1．

想一想：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何？

练习

1．比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小．

利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质．

定理1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．

证明：∵a＞b，

∴a－b＞0．

由正数的相反数是负数，得

－(a－b)＜0，

即b－a＜0，

∴b＜a．

(定理1的后半部分请同学们自证．) 定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向①．

①在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这两个不等式就是同向不等式，例如a2＋2＞a＋1，3a2＋5＞2a是同向不等式；如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小于(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式，例如a2＋3＞2a，a2＜a＋5是异向不等式．

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定理2

如果a＞b，且b＞c，那么a＞c．

证明：∵a＞b，b＞c，

∴a－b＞0，b－c＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得

(a－b)＋(b－c)＞0，

即a－c＞0，

∴a＞c．

根据定理1，定理2还可以表示为：

如果c＜b，且b＜a，那么c＜a．

定理3

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．

证明：∵(a＋c)－(b＋c) ＝a－b＞0，

∴a＋c＞b＋c．

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．

想一想：如果a＜b，是否有a＋c＜b＋c？

利用定理3可以得出：

如果a＋b＞c，那么a＞c－b．

也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．

推论

如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d．

证明：∵a＞b，

∴a＋c＞b＋c．

①

∵c＞d，

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∴b＋c＞b＋d．

②

由①、②得

a＋c＞b＋d．

很明显，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加．这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．

练习

1．判断下列各命题的真假，并说明理由：

如果a＞b，那么a－c＞b－c；

2．回答下列问题：

(1)如果a＞b，c＜d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小？举例说明；

(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小？举例说明。

3．求证：如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；

小结：我们是怎样讨论不等式的基本事实和基本性质？有那些特别值得注意的地方？

作业：第9页习题1.1第1~4题。

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