探究与发现 子集的个数有多少教学活动设计方案

《探究与发现：子集的个数有多少？》教学设计

安顺市第一高级中学

杨洁

一、教学内容分析

《探究与发现：子集的个数有多少？》是高中新教材人教A版选修2-3第一章探究与发现的内容，本节课主要探讨如何利用计数原理证明n元集合A={a1,a2,a3,…,an}的不同子集有2n个，并引导学生发现其他的证明方法：数学归纳法和组合数二项式定理进行证明。

二、学生学习情况分析

我校是省级示范性高中，匹配多媒体设备，学生的学习习惯较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。子集的个数是高一年级第一章通过归纳推导得到的结论，属于合情推理。高二年级已学过合情推理知道得到的结论必须给予证明，同学们也有对结论进行证明的主动性。结合本学期所学的内容：计数原理、二项式定理、组合数以及数学归纳法多角度对该结论进行证明，既让学生及时的运用新知识证明老结论，又告诉学生分析问题的多角度化，并呼应“合情推理必须证明”的结论。

三、教学目标

1、能够归纳得到子集的个数公式； 2、通过自主探究讨论得到证明子集个数的证明方法；

3、培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计数原理、组合数、二项式定理、数学归纳法证明子集个数的结论；

4、课堂通过“教体验教表达教思考”的三教思想从而达到发展学生的数学核心素养的目的，一题多解让学生体验不同角度解决数学问题。

四、教学重点和难点

教学重点: 归纳得到子集的个数公式；利用计数原理、组合数、二项式定理、数学归纳法等知识点多角度证明子集个数的结论；

教学难点：利用计数原理、组合数、二项式定理、数学归纳法等知识点多角度证明子集个数的结论；

五、设计思想

1、把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题。

2、启发学生独立思考，分组讨论，鼓励学生与他人交流合作。

3、让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质。

4、让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。

六、教学过程设计

（一）复习回顾，导入新课

（借助多媒体）复习高一关于子集真子集的知识

【对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：A⊆B（或B⊇A）。

如果集合A⊆B，但存在元素x属于B，且x不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。】

让学生自己动手实践，归纳推理子集的个数有多少个，从简到深，边复习边推导，让学生通过自己的体验得出结论。

【(1)写出∅的所有子集; (2)写出集合{a}的所有子集; (3)写出集合{a,b}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集. (1) ∅

(2) ∅、{a} (3) ∅、{a}、{b}、 {a,b} (4) ∅、{a}、{b}、 {c}、 {a,b}、{a,c}、{b,c}、

{a,b,c} 得出结论

元素个数与子集个数之间的关系

集合

∅

{a} 集合元素的个数

0 1 集合子集的个数

1 2

{a,b} {a,b,c} {a,b,c,d} ……

2 3 4 ……

4 8 16 ……

2n

{n个元素} n 通过归纳推导，合理猜测出结论：n元集合A={a1,a2,a3,…,an}的不同子集有2n个】

结合已学过合情推理的知识，询问学生“合情推理得到的结论是否一定正确？”学生回答“不一定，需要证明”“那么怎么证明呢？”利用学生的好奇心提高学生的学习热情，从“老师让我证明”变成“我自己想证明我自己推导出来的结论”。

（进而引出本节研究的课题：探究与发现：子集的个数有多少？）

【学情预设】学生被如何证明自己推导（猜测）的结论是否正确所吸引，学习的热情高涨，学习的主动性得到提升。

（二）引导探究，获得新知

通过学生分组讨论加上老师的引导，初步设定证明的方向，可以利用的原理有：计数原理、组合数、二项式定理以及数学归纳法。

证明：n元集合A={a1,a2,a3,…,an}的不同子集有2n个。

1、从乘法原理的角度进行证明. 设集合A={a1,a2,a3,…,an}，A的任一子集都可由a1,a2,a3,…,an之间每个元素“参加”与“不参加”这两种情况来构成，例如：∅对于a1,a2,a3,…,an所有元素来说都“不参加”，因此要构造A的子集可分为n个步骤来操作：

第一步：考虑a1,它有“参加”和“不参加”两种情况；

第二步：考虑a2,它有“参加”和“不参加”两种情况；

……

第n步：考虑an,它有“参加”和“不参加”两种情况；

由乘法计数原理得，共有不同的子集个数为N=2*2*2*……*2(n个2)= 2n

2、从组合数和二项式定理的角度证明。

设集合A={a1,a2,a3,…,an}，A的所有子集可以按其元素的个数分为含0个元素，1个元素，2个元素……n个元素的共n+1类，其中含0个元素的子集相当于是从A中n个元0C素选0个出来，即为n；含1个元素的子集相当于是从A中n个元素选1个出来，即为1kCnCn；含k个元素的子集相当于是从A中n个元素选k个出来，即为；含n个元素的nCn子集相当于是从A中n个元素选n个出来，即为，所以A的子集总个数为N=012nCnCnCn......Cn,由本学期所学二项式定理系数性质可知：012nCnCnCn......Cn=2n

故A={a1,a2,a3,…,an}的不同子集有2n个，即证。

3、从数学归纳法的角度证明。

证明：要证明含n个元素的集合A={a1,a2,a3,…,an}的子集个数为N=2n 第一步：当n=0时，A为∅，子集的个数为20=1，公式成立；

第二步：假设当n=k时公式成立，即含k个元素的集合的子集共有2k个；

现设有集合A={a1,a2,a3,…,an，m}含有k+1个元素，它的子集可分为两类：第一类是含有元素“m”的子集，根据假设，这样的子集有2k个；第二类为含有元素“m”的子集，这类集合可看作是把第一类集合每一个子集添加上元素“m”所得到的，因此也共有2k个。所以A的子集个数共为第一类子集的个数+第二类子集的个数=2k+2k=2k+1个，所以对于n=k+1也成立。综上所述，对于一切自然数n，结论均成立。

（三）小结概括，深化认识

让学生自己总结本节课学习了哪些内容，得到了什么收获，得到了什么启发，教学生除了会思考还要教学生会表达。

1、从计数原理的角度证明。

2、从二项式定理的角度证明。

3、从数学归纳法的角度证明。

总结：俗话说“老呆在同一个地方放枪的猎人不是好猎人”在数学思维训练中同样要求我们善于从不同的角度出发观察思考同一个问题，这不仅能培养我们的发散思维和创造性思维能力，还能让我们体会到数学的多样美。

【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。漫画的出现加深学生对本节课一题多解的理解，提高学习兴趣。

【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识。漫画的出现大大提高了学生的学习兴趣，让学生明白数学学习不一定是枯燥无味的，同一个题从不同的角度去思考会发现不一样的结论，数学如此，人生也是如此，教会学生思考数学的同时也在渗透对学生人生观世界观价值观的教育，符合数学核心素养的要求，也体现了“三教”思想。

（六）布置作业

七、板书设计

探究与发现：子集的个数有多少？

方法一：计数原理

方法三：数学归纳

1．复习子集

2．子集的个数公式

3．证明

八、教学反思

方法二：组合数

例题

练习

本节课从学情出发，根据高二年级的特点加以设计教学，从问题的提出到知识点的巩固均利用了高二年级同学的学科特点，这使得本节课的学生们的参与度特别高，甚至有些同学课后说没有想到一个数学题可以有那么多方法证明，而且全是才学过的知识点。这正是数学核心素养培养的一

种体现。分组讨论证明方法和最后总结给出漫画可以说是这节课的一个亮点，课堂氛围在这两个环节达到最好，这也说明学生对数学是感兴趣的，但是对平常那种教师讲他们听的授课方式不感兴趣，他们喜欢动手，喜欢参与，所以如何在平常的教学中让学生更积极的参与进来是我要思考的问题。这节课还有很多不足的地方，还必须多向老教师们学习取经，争取更大的进步。