复习参考题教学设计和教学实录

《计数原理章末复习》教学设计

教学目标

1．知识目标

（1）理解两个原理的本质，会用两个原理处理问题

（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；

（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；

（4）使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式。会利用二项展开式及通项公式解决有关问题。

2．能力目标

认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。培养训练同学的观察、联想、归纳等探究能力。通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育。

3．德育目标

（1）用联系的观点看问题；

（2）认识事物在一定条件下的相互转化；

（3）解决问题能抓住问题的本质。

教学重点：两个原理的理解，排列组合的排列数与组合数公式的应用以及二项式定理的应用教学难点：两个原理的理解，排列组合的排列数与组合数公式的应用以及二项式定理的应用教学策略：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。问题式引导教学法

媒体选用：PPT 教学过程

一、知识梳理

（一）两个原理

1．分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的办法，那么完成这件事共有：m1m2mn种不同的方法。

2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的办法，那么完成这件事共有：

m1m2mn种不同的方法。

3．两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关

（1）分类要做到“不重不漏”；

（2）分步要做到“步骤完整”。

（二）排列组合

1.排列

（1）定义：一般地说从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中，任取m个元素的一个排列。特别地当n=m时，叫做n个不同元素的一个全排列。

（2）排列数定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元m素中取出m个元素的排列数，用符号An表示。

（3）

排列数公式：①Annn1n2nm1mn!n，特别地Ann!

nm!②规定0!1

2.组合

（1）组合定义：一般地说从n个不同元素中，任取 m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（2）组合数定义：从

个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从

个不同元素m中取出

个元素的组合数，用符号Cn表示。

m（3）组合数公式：①Cnnn1n2nm1n!, mm1m21m!nm!0n②规定CnCn1

knkmmm1（4）组合数的两个性质：（1）Cn（2）

Cn

Cn1CnCn（三）二项式定理

0n1n1．定理(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

①这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，各项系r数Cn

(r=0,1,2,……,n)叫做二项式系数。

rnrrrnrr

②式中Cnab叫做二项展开式的通项，记作：Tr1Cnab。

2．要正确区别“项的系数”和“二项式系数”。

（四）二项式定理

1．两个原理的应用

A组

1题（1）：乘积a1a2anb1b2bn展开后共有

项. 1题（5）：5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由

选择听其中的一个讲座，不同选择的种树是

. 2．排列与组合的应用

（1）排列的应用问题

①无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。

②有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

（2）组合的应用问题

①无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。

②有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

（3）排列、组合的综合问题

排列组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。

（4）在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

a.限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“相邻”与“不相邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。

②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。

③“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

b.限制条件的组合问题常见命题形式：

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

（5）在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。

（6）解题步骤：

a.认真审题：看这个问题是否与顺序有关，先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题，还应考虑以下几点：

①在这个问题中n个不同的元素指的是什么？②m个元素指的又是什么？

②从n个不同的元素中每次取出m个元素的排列（或组合）对应的是什么事件；

b.列式并计算；

c.作答。

（7）复习参考题

1题（3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法种数是

. 拓展：

甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，不同的排法总数有

种. 拓展：

①要求体育、艺术不能挨着上，则不同的排法有

种. ②要求数学排在语文前面，则不同的排法有

种. ③要求数学、英语挨着在上午上，则不同的排法有

种. 3.二项式定理的应用

1题（7）：1xnN2n的展开式中，系数最大的项是第

项. 2拓展：x2中

x①

二项式系数最大项是第

项. ②

系数绝对值最大项是第

项. ③

系数最大项是第

项. （五）课后延伸

8

题型一：排列应用题

9名同学站成一排：（分别用A，B，C等作代号）

（1）

如果A必站在中间，有多少种排法？

（2）

如果A不能站在中间，有多少种排法？

（3）

如果A必须站在排头，B必须站在排尾，有多少种排法？

（4）

如果A不能在排头，B不能在排尾，有多少种排法？

（5）

如果A，B必须排在两端，有多少种排法？

（6）

如果A，B不能排在两端，有多少种排法？

（7）

如果A，B必须在一起，有多少种排法？

（8）

如果A，B必须不在一起，有多少种排法？

（9）

如果A，B，C顺序固定，有多少种排法？

题型二：组合应用题

若从这9名同学中选出3名出席一会议

（10）

若A，B两名必在其内，有多少种选法？

（11）

若A，B两名都不在内，有多少种选法？

（12）

若A，B两名有且只有一名在内，有多少种选法？

（13）

若A，B两名中至少有一名在内，有多少种选法？

（14）

若A，B两名中至多有一名在内，有多少种选法？

题型三：排列与组合综合应用题

若9名同学中男生5名，女生4名

（15）

若选3名男生，2名女生排成一排，有多少种排法？

（16）

若选3名男生2名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？

（17）

若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？

（18）

若男女生相间，有多少种排法？

题型四：分组问题

6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

（19）

一堆一本，一堆两本，一堆三本

（20）

甲得一本，乙得两本，丙得三本

（21）

一人得一本，一人得两本，一人得三本

（22）

平均分给甲、乙、丙三人

（23）

平均分成三堆

（24）

分成四堆，一堆三本，其余各一本

（25）分给三人每人至少一本。

题型五：全能与专项

（26）车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？

题型六：染色问题

（27）梯形的两条对角线把梯形分成四部分，用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色，且相邻的区域不同色，问有（ ）种不同的涂色方法？

题型七：编号问题

（28）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？

（29）将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？

题型八：几何问题

（30）（Ⅰ）四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？

（Ⅱ）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

题型九：关于数的整除个数的性质：

①被2整除的：个位数为偶数；

②被3整除的：各个位数上的数字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍数且为偶数；

④被4整除的：末两位数能被4整除；

⑤被8整除的：末三位数能被8整除；

⑥25的倍数：末两位数为25的倍数；

⑦5的倍数：个位数是0，5；

⑧9的倍数：各个位数上的数字之和为9的倍数。

（31）用0,1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中5的倍数有多少个？

题型十：隔板法：（适用于“同元”问题）

（32）：把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？

（六）小结

板书设计

计数原理

（一）两个原理

1．分类加法计数原理：

（2）排列数定义

2．分步乘法计数原理：

（3）组合数公式：

（二）排列组合

（4）组合数的两个性质：

1.排列

（三）二项式定理

（1）定义：

1．定理

m（2）排列数定义：

An

二项式系数。

rnrr（3）

排列数公式：

通项：Tr1Cnab。

2.组合

2．“项的系数”和“二项式系数”。

（1）定义

（四）应用

教学设计思路：

1.知识梳理

a.net]2.结合复习参考题讲应用，适当拓展二

3.教学过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

4.《九章算术》、“杨辉三角”是我国古代数学成果的典型代表，是在课堂上渗透民族精神教育的很好的载体，应该充分利用。

课后反思：

问题是数学的心脏，发挥学生的主观能动性一定是上好课的前提。