复习参考题优秀公开课教案

第二章水平测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是(

) A．25

B．10

C．9

D．5 答案

C 解析

由题意，由于是有放回的取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5个不同的和；若两次取球为不同号码，则还有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．

2．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n.如果P(ξ<4)＝0.3，那么(

) A．n＝3

C．n＝10

答案

C 1解析

∵ξ是等可能地取值，∴P(ξ＝k)＝n(k＝1,2，…，n)，∴P(ξ<4)3＝n＝0.3，∴n＝10. 3．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是(

) A．0.16

B．0.24

C．0.96

D．0.04 答案

C 解析

三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96. 4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)B．n＝4 D．n不能确定

＝(

) 1A.2＋p

C．1－2p

答案

D 1111解析

P(－1<ξ<0)＝2P(－1<ξ<1)＝2[1－2P(ξ>1)]＝2－P(ξ>1)＝2－p. 5．甲、乙、丙三个在同一办公室工作，办公室只有一部电话机，111经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是2，4，4.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是(

) 3579A.64

B.64

C.64

D.64

答案

D 解析

根据题意，三个电话中恰有两个是打给乙，即3次独立重复试验中恰有2次发生，所以所求事件的概率964. 9故答案为64. 16．已知随机变量X～B6，2，则D(2X＋1)等于(

) B．1－p

1D.2－p

1122P＝C3×4×1－4＝A．6

B．4

C．3

D．9 答案

A 131解析

D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×2×1－2＝2，∴3D(2X＋1)＝4×2＝6. 7．某校14岁女生的平均身高为154.4 cm，标准差是5.1 cm，如

果身高服从正态分布，那么在该校200个14岁女生中身高在164.6 cm以上的约有(

) A．5人

B．6人

C．7人

D．8人

答案

A 解析

设某校14岁女生的身高为X(cm)，则X～N(154.4,5.12)．由1于P(154.4－2×5.1164.6)＝2×(1－0.9544)＝0.0228.因为200×0.0228＝4.56，所以身高在164.6 cm以上的约有5人．

8．已知某随机变量ξ的分布列如下表，其中x>0，y>0，随机变1量ξ的方差D(ξ)＝2，则x＋y＝(

) ξ

P 353A.2

B.2

C.4

D．2 答案

C 解析

由题意知2x＋y＝1，则E(ξ)＝4x＋2y＝2.又D(ξ)＝(－1)2×x1113＋1×x＝2x＝2，解得x＝4，所以y＝1－2x＝2，所以x＋y＝4.故选21

x 2

y 3 x

C. 9．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(

) 1511A.3

B.18

C.6

D.4

答案

A 解析

出现点数互不相同的共有n(A)＝6×5＝30种，出现一个5nAB1点共有n(AB)＝5×2＝10种，∴P(B|A)＝＝. nA310．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为(

)

51555A.64

B.64

C.32

D.16

答案

C 解析

甲以4比2获胜，则需打六局比赛且甲第六局胜前五局胜三局，故其概率为121313C52×2×＝5232. 11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c[a，b，c∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(

) 1111A.48

B.24

C.12

D.6

答案

B 解析

由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝113a＋2b21121113a·2b≤6＝6×2＝24，当且仅当3a＝2b＝2，即a＝6，b6·21＝4时取“等号”，故选B. 12．某地区高二女生的体重X(单位：kg)服从正态分布N(50，25)，若该地区共有高二女生2000人，则体重在50～65 kg间的女生共有(

) A．683人

B．954人

C．997人

D．994人

答案

C 解析

由题意知μ＝50，σ＝5，∴P(50－3×5

第Ⅱ卷

(非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．

答案

200

解析

种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E(ξ)＝200. 14．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答) 6答案

25

解析

由a4＝2，a7＝－4可得等差数列{an}的通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，…，10)．由题意，三次取数相当于三次独立重复试验，21在每次试验中取得正数的概率为5，取得负数的概率为2，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为22211C352＝625. 15．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元)．

答案

0.2 解析

依题意得ξ1的所有可能取值分别为1,2,3,4,5，且取得每个11值的概率均等于5，因此E(ξ1)＝5×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.ξ2的所有可能4取值分别为1.4×1,1.4×2,1.4×3,1.4×4，且P(ξ2＝1.4×1)＝10，P(ξ23211＝1.4×2)＝10，P(ξ2＝1.4×3)＝10，P(ξ2＝1.4×4)＝10，因此E(ξ2)＝10×1.4×(1×4＋2×3＋3×2＋4×1)＝2.8，E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2(元)．

16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别

以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

2①P(B)＝5；

5②P(B|A1)＝11；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

答案

②④

解析

由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决111C1CCC95554定的，且P(B)＝C1×C1＋C1×C1＝22. 10111011故①③⑤错误；

15×PB∩A12115∵P(B|A1)＝＝1＝11，故②正确；

PA12由互斥事件的定义知④正确．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．

(1)求选到的是第一组的学生的概率；

(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．

解

设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．

101(1)由题意，P(A)＝40＝4.

(2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选4择．因此，P(A|B)＝15. 15341解法二：P(B)＝40＝8，P(AB)＝40＝10，

PAB4∴P(A|B)＝＝. PB1518．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中12目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为3. (1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X)；

(2)求乙至多击中目标2次的概率；

(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

解

(1)X的概率分布列为

X P

13311E(X)＝0×8＋1×8＋2×8＋3×8＝1.5或E(X)＝3×2＝1.5. (2)乙至多击中目标2次的概率为193231－C33＝. 0

18

1

38

2

38

3 18

27(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2. 31121B1、B2为互斥事件，P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝8×27＋8×9＝24. 19．(本小题满分12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中

的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；

(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解

设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．

1根据题意，P(Ai)＝13，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．

(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.2所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝13. (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且

P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) 4＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝13，

P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) 4＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝13，

5P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝13. 所以X的分布列为

X P

0

513

1

413

2 413

54412故X的期望E(X)＝0×13＋1×13＋2×13＝13. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

20．(本小题满分12分)随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．

(1)求样本容量及x的值；

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．

解

(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2，

频率为0.008×10＝0.08，

2所以样本容量n＝0.08＝25，

x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4. (2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2，所以ξ的所有可能取值为0,1,2，

212C42C18C214C2因为P(ξ＝0)＝C2＝5，P(ξ＝1)＝C2＝15，P(ξ＝2)＝C2＝15，

666

所以ξ的分布列为

ξ

P

2812所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×5＋1×15＋2×15＝3. 21．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮11检测不合格的概率为6，第二轮检测不合格的概率为10，两轮检测是否合格相互没有影响．

(1)求该海产品不能销售的概率；

(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出数学期望E(ξ)．

解

(1)记“该海产品不能销售”为事件A，

111则P(A)＝1－1－6×1－10＝4. 1所以，该海产品不能销售的概率为4. (2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160. 141P(ξ＝－320)＝4＝256，

0

25

1

815

2 115

31133·＝，

P(ξ＝－200)＝C4·446421232·P(ξ＝－80)＝C4·44＝27128，

273133P(ξ＝40)＝C4··4＝，

464

3481P(ξ＝160)＝4＝256. 所以ξ的分布列为

ξ

P

13272781E(ξ)＝－320×256－200×64－80×128＋40×64＋160×256＝40. 22．(本小题满分12分)气象部门提供了某地区六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：

日最高气温t/℃

天数

t≤22

6

22

12

28

Y t>32 Z

－320

－200

－80

40

1256

364

27128

2764

160 81256

由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9. 某水果商根据多年的销售经验，得到六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：

日最高气温t/℃

日销售额X/(千元)

(1)求Y，Z的值；

(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；

(3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率．

解

(1)由已知，得P(t≤32)＝0.9，

∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，

∴Z＝30×0.1＝3，

t≤22

2

22

5

28

6

t>32 8

Y＝30－(6＋12＋3)＝9. 6(2)P(t≤22)＝30＝0.2，

12P(22

9P(28

3P(t>32)＝30＝0.1，

∴六月份西瓜日销售额X的分布列为

X

∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，

D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3. (3)∵P(t≤32)＝0.9，

P(22

P2222|t≤32)＝＝Pt≤320.770.9＝9. 2

5

6

8 P 0.2

0.4

0.3

0.1