1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用国家获奖教案

1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用

1．理解独立性检验的基本思想及其实施步骤．(重点) 2．能利用条形图、列联表探讨两个分类变量的关系．(易混点) 3．了解K2的含义及其应用．

4．通过对数据的处理，来提高解决实际问题的能力．(难点)

[基础·初探]

教材整理1

分类变量与列联表

阅读教材P10～P13的内容，完成下列问题．

1．分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

2．列联表

(1)定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

(2)2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

下面是一个2×2列联表：

1

x1

x2

总计

y1

a 8

b y2

21

25

46 总计

73 33

则表中a，b处的值分别为________．

【解析】

∵a＋21＝73，∴a＝52. 又b＝a＋8＝52＋8＝60. 【答案】

52,60 教材整理2

等高条形图

阅读教材P14的内容，完成下列问题．

1．定义：将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．

2．等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

3．观察等高条形图发现关系．

观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是________．

ac和相差很大，就判断两个分类变量之间有a＋bc＋d

图1-2-1 【解析】

在四幅图中图(4)中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选(4)．

【答案】

(4) 教材整理3

独立性检验

2

阅读教材P12的内容，完成下列问题．

1．定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

2．公式

nad－bc2K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d2

1．关于分类变量x与y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是________(填序号)．

(1)k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小；

(2)k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小；

(3)k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小；

(4)k的值越大，“X和Y无关”程度越大．

【解析】

k的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X和Y无关系的可能性就越小．

【答案】

(2) 2．式子|ad－bc|越大，K2的值就越________．(填“大”或“小”) 【解析】

由K2的表达式知|ad－bc|越大，(ad－bc)2就越大，K2就越大．

【答案】

大

[小组合作型]

用2×2列联表分析两变量间的关系

在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33a人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用a＋b与cc＋d判断二者是否有关系．

3

【精彩点拨】

对变量进行分类→求出分类变量的不同取值→

作出2×2列联表→计算ac与的值作出判断

a＋bc＋d【自主解答】

2×2列联表如下：

饮食以蔬菜为主

饮食以肉类为主

总计

将表中数据代入公式得c27＝60＝0.45. c＋d显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．

1．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误．

2．利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将bdac或a＋b与c＋d的值相比，直观地与a＋bc＋d年龄在六十岁以上

43

27

70

a43＝64＝0.671 875. a＋b年龄在六十岁以下

21

33

54

总计

64 60 124 反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．

[再练一题]

1．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

20至40岁

大于40岁

文艺节目

40

15

新闻节目

18

27

总计

58 42

4

总计

55

45

100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众与年龄________．(填“有关”或“无关”) 【解析】

因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即b18d27＝58，＝42，a＋bc＋d两者相差较大，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄有关．

【答案】

有关

用等高条形图分析两变量间的关系

某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

【精彩点拨】

作出2×2列联表―→根据列联表数据对比乘积的差距判断两个分类变量是否有关

作等高条形图―→

【自主解答】

作列联表如下：

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

相应的等高条形图如图所示：

性格内向

332

94

426

性格外向

213

381

594

总计

545 475 1 020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出，考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

5

1．判断两个分类变量是否有关系的两种常用方法

(1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法．

(2)一般地，在等高条形图中，的可能性就越大．

2．利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤

ac与相差越大，两个分类变量有关系a＋bc＋d

[再练一题]

2．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表：

药物效果试验列联表

服用药

没有服用药

总计

患病

10

20

30

未患病

45

30

75

总计

55 50 105 试用图形判断服用药与患病之间是否有关系？

【解】

相应的等高条形图如下：

从图形可以看出，服用药的样本中患病的比例明显低于没有服用药的样本中患病的比例，因此可以认为：服用药和患病之间有关系．

6

独立性检验

在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人、男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

(2)休闲方式与性别是否有关？

【精彩点拨】

先根据已知数据建立2×2列联表，再通过列联表中的数值求K2，再根据K2的值作出判断．

【自主解答】

(1)2×2的列联表为

女性

男性

总计

(2)计算K2的观测值为

120×40×30－20×30224k＝＝7≈3.429. 70×50×60×60而2.706<3.429<3.841. 因为P(K2>2.706)≈0.10. 所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关．

解决一般的独立性检验问题的步骤

看电视

40

20

60

运动

30

30

60

总计

70 50 120

7

[再练一题]

3．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？

【导学号：81092004】

【解】

根据题目所给的数据得到如下列联表：

有兴趣

无兴趣

总计

理科

138

98

236

文科

73

52

125

总计

211 150 361 根据列联表中数据由公式计算得K2的观测值为

361×138×52－73×982k＝≈1.871×10－4. 236×125×211×150因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．

[探究共研型]

独立性检验的综合应用

探究1

利用K2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？

【提示】

利用K2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用K2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．

探究2

在K2运算后，得到K2的值为29.78，在判断变量相关时，P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？

【提示】

两种说法均正确．P(K2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(K2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．

为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、

8

独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？

【精彩点拨】

解答本题可先列出2×2列联表，然后具体分析．

【自主解答】

(1)2×2列联表如下：

甲在生产现场

甲不在生产现场

合计

合格品数

982

493

1 475

次品数

8

17

25

总计

990 510 1 500 由列联表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．

(2)由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为

1 500×982×17－493×82k＝≈13.097>10.828，

990×510×1 475×25因此在犯错误不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关．

判断两个变量是否有关的三种方法

[再练一题]

4．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．

9

(1)将下面的2×2列联表补充完整；

男婴

女婴

总计

晚上

白天

总计

(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系？

【解】

(1)2×2列联表如下：

男婴

女婴

总计

晚上

24

8

32

白天

31

26

57

总计

55 34 89 (2)由所给数据计算K2的观测值

89×24×26－31×82k＝

55×34×32×57≈3.689>2.706. 根据临界值表知P(K2≥2.706)≈0.10. 因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为婴儿的性别与出生时间有关系．

1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(

) A．平均数与方差

C．独立性检验

B．回归分析

D．概率

【解析】

判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. 【答案】

C

10

2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为(

) P(K2≥k0)

k0

A.0.1% C．99% 0.100

2.706

0.050

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.001 10.828 B．1% D．99.9% 【解析】

因为

K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．

【答案】

C 3．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(

) A．独立性检验依赖小概率原理

B．独立性检验得到的结论一定正确

C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法

【解析】

受样本选取的影响，独立性检验得到的结论不一定正确，选B. 【答案】

B 4．在2×2列联表中，两个比值a与________相差越大，两个分类变量有a＋b关系的可能性越大. 【导学号：81092005】

【解析】

根据2×2列联表可知，比值ac与相差越大，则|ad－bc|a＋bc＋d就越大，那么两个分类变量有关系的可能性就越大．

【答案】

c

c＋d5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

南方学生

北方学生

喜欢甜品

60

10

不喜欢甜品

20

10

合计

80 20

11

合计

70

30

100 根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

【解】

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

nad－bc2100×60×10－20×102100k＝＝＝21≈4.762. a＋bc＋da＋cb＋d70×30×80×20因为4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

学业分层测评

(建议用时：45分钟) [学业达标]

一、选择题

1．如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，那么具体算出的数据满足(

) A．K2>3.841 C．K2>6.635 B．K2<3.841 D．K2<6.635 【解析】

对应P(K2≥k0)的临界值表可知，当K2>3.841时，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关．

【答案】

A 2．下列关于等高条形图的叙述正确的是(

) A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系

B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小

C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系

D．以上说法都不对

【解析】

在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．

【答案】

C 3．分类变量X和Y的列联表如下，则(

)

y1

y2

12 总计

x1

x2

总计

a c a＋c b d a＋b

c＋d

b＋d a＋b＋c＋d

A.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱

B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强

C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强

D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强

【解析】

结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．

【答案】

C 4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是(

) A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾

B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾

C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人

D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有

【解析】

这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D. 【答案】

D 5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：

课外阅读量较大

课外阅读量一般

总计

作文成绩优秀

作文成绩一般

总计

22

8

30

10

20

30

32 28 60 由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(

) 【导学号：81092006】

A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

13

B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

【解析】

根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．

【答案】

D

二、填空题

6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：

第一种剂量

第二种剂量

总计

死亡

14

6

20

存活

11

19

30

总计

25 25 50

进行统计分析时的统计假设是__________．

【解析】

由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．

【答案】

假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关

7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：

男性患者

女性患者

总计

无效

15

6

21

有效

35

44

79

总计

50 50 100 设H0：服用此药的效果与患者性别无关，则K2的观测值k≈________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．

【解析】

由公式计算得K2的观测值k≈4.882，

∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而

14

有5%的可能性出错．

【答案】

4.882

5% 8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：

男生

女生

总计

吃零食

27

12

39

不吃零食

34

29

63

总计

61 41 102 根据上述数据分析，我们得出的K2的观测值k约为________．

102×27×29－34×122【解析】

由公式可计算得k＝

39×63×61×41≈2.334. 【答案】

2.334 三、解答题

9．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下列联表：

女生

男生

总计

有心理障碍

10

20

没有心理障碍

70

总计

30 80 110 将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？

附：

P(K2 ≥k0)

k0

0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828 【解】

将列联表补充完整如下：

女生

男生

总计

有心理障碍

10

10

20

没有心理障碍

20

70

90

总计

30 80 110 110×10×70－20×102k＝≈6.366>5.024，

30×80×20×90

15

所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．

10．某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：

月收入(单

位：百元)

赞成定价

者人数

认为价格偏

高者人数

4

8

12

5

2

1 [15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75]

1

2

3

5

3

4 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；

(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.

认为价格

偏高者

赞成定价者

总计

2月收入不低于

55百元的人数

月收入低于55 百元的人数

总计

nad－bc2附：K＝. a＋bc＋da＋ca＋dP(K2≥k0)

k0

0.05

3.841

0.01 6.635 【解】

(1)“赞成定价者”的月平均收入为

x1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4

1＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56. “认为价格偏高者”的月平均收入为

16

x2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1

4＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，

∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．

(2)根据条件可得2×2列联表如下：

认为价格偏高者

赞成定价者

总计

2月收入不低于

55百元的人数

3

7

10

月收入低于55 百元的人数

29

11

40

总计

32 18 50 50×3×11－7×292K＝≈6.27＜6.635，

10×40×18×32∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．

[能力提升]

1．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：

Y

X

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(

) A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2 C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5 【解析】

对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C都有|ad－bc|＝|10

17

－12|＝2.对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2. 【答案】

D 2．有两个分类变量X，Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：

X1

X2

Y1

a 15－a Y2

20－a

30＋a

其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(

) A．8

C．8,9 【解析】

根据公式，得

65×[a30＋a－15－a20－a]2k＝

20×45×15×5013×13a－602＝>3.841，

20×45×3×2根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得a＝8,9满足题意．

【答案】

C 3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

男

女

非统计专业

13

7

统计专业

10 20

B．9 D．6,8 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到K2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．

2nad－bc参考公式：K2＝；

a＋bc＋da＋cb＋dP(K2≥k)

k 0.050

3.841

0.010 6.625 5013×20－7×102【解析】

根据提供的表格，得k＝≈4.844＞3.841，

23×27×20×30

18

∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．

【答案】

4.844

有

4．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行1 700次观测，列联表如下：

水位有变化

水位无变化

总计

有震

98

82

180

无震

902

618

1 520

总计

1 000 700 1 700 利用图形判断地下水位的变化与地震的发生是否有关系，并用独立性检验分析是否有充分的证据显示二者有关系．

【解】

相应的等高条形图如图所示．

图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率．由图可看出，水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大，因此不能判断地震与水位变化有关系．

根据列联表中的数据，得K2的观测值为

1 700×98×618－902×822k＝≈1.594＜2.072，

1 000×700×180×1 520所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系，但也不能认为二者无关系．

19