一 比较法优质课教案

饶平县第四中学高中数学组

第二讲 证明不等式的基本方法

饶平县第四中学 詹汇婷

课 题：

第01课时 不等式的证明方法之一：比较法

教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学过程：

一、新课学习：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

二、典型例题：

3322例1、设a,b都是正数，且ab，求证：ababab。

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x3x1xx2x2x2x

=2(x4x3x1)

242423[来源学科网]

=2(x1)2(x2x1)

=2(x1)[(x)].

21223413x1,从而(x1)20,且(x)20,

24∴ 2(x1)[(x)]0,

∴

3(1xx)(1xx).2422212234[来源:Z§xx§k.Com]

饶平县第四中学高中数学组

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知a,bR,求证abab.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

abbaab0ababab(aabbabbabbab)0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1tSS2SS(mn)t2，可得t1m1nS，，t2，

2m2nmn2mn222SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2，

mn2mn2(mn)mn2(mn)mn其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练习：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

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（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2. 2．已知a1.

求证：（1）a22a1;

（2）abc32222a1.

1a23．若abc0，求证aabbcc(abc)四、课时小结：[来源:Zxxk.Com].

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

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