2.基本不等式优质课一等奖

基本不等式（一）

一、教学目标： 1、知识与技能： ①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；

②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。

2、过程与方法：

本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。

3、情感与价值：

培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。

二、教学重点和难点：

重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab以及解决一些简单的实际问题.。

ab的多种解释；

2难点：理解“当且仅当ab时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，三、学法与教学用具：

先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。

五、教学过程设计

导入

如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

探究1：会标中有哪些几何图形？能否从正方形、三角形的面积角度来思考，寻找相等关系和不等关系？

探究2：如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。

重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2b22ab，当且仅当a=b时，等号成立。

思考：你能对重要不等式a2b22ab进行证明吗？等号成立的条件是什么？你能从图形中对“等号成立”进行解释吗？

作差法：

问探究3：如图2，取线段ABab，其中ACa,BCb，

D B O C E A 以AB为直径作圆O，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD. （1）

试找出图中哪条线段表示a,b的算术平均值？哪条线段表示a,b的几何平均值？它们分别有什么几何意义呢？

（2）

移动点C在线段AB上的位置（在几何画板上），你有什么

结论呢？

（3）你能从图中解释基本不等式ababa0,b0等号成立的条件吗？

2ababa0,b0，称其为基本不等式。其中，2【定义】通常我们把ab2ab写成把ab叫做两个正数a,b的算术平均数，ab叫做两个正数a,b的几何平均数，当且仅当2ab时，上述等号成立。

ababa0,b0用文字语言如何描述？从数列的角度，还可以怎么2问题：基本不等式描述？

问题：你能否借助已证的重要不等式a2b22ab，分析ab2aba0,b0的成立性吗？

基本不等式的应用

例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，

那么当x=y时，和x+y有最小值2p；

12（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值

4s小结：

例、用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？

课堂小结：

知识内容：

一个公式、两个概念、三类语言、四种证法。

ababa0,b0

一个公式：2ab两个概念：算术平均数，几何平均数ab

2三类语言：符号语言、文字语言、图形语言

四种证法：比较法、分析法、综合法、几何法

作业布置：

教材第10页习题5、6、7、10题