3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计内容推荐

《3.2.2_复数代数形式的乘除运算》教案

汕头市河浦中学 陈基源 2019-5-15

教学目标：

1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算. 2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题. 3、情感、态度与价值观：采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

课型：新授课

教学过程：

复习回顾：

1、已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

2、复数加（减）法的几何意义

知识引入：

设a,b,c,d是实数，则(a+b)(c+d)展开的结果是？

思考：类比上述运算，设复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）

则z1z2=(a+bi)(c+di)，将其展开，那么展开的结果是？

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新课讲解：

一、复数的乘法法则：

规定复数的乘法法则如下：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

二、乘法运算律：

(1) z1z2=z2z1

(2) z1(z2z3)=(z1z2)z3 (3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 【例题解析】：

例1 计算：(1) (2+i)i (2) (1-2i)(3+i)

例2 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)

【小结】：1、复数的乘法与多项式的乘法是类似的，先展开；

2、把i2 换成-1，最后把实部与虚部分别合并即可.

【课堂练习】：课本P60 第1题

例3 计算：(1) (3+4i)(3-4i) (2) (1+i)2

【小结】：1、实数系中的乘法公式在复数系中也成立的；

2、运用乘法公式可以简化运算过程.

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【课堂练习】：课本P60 第2题

三、共轭复数：

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 通常记复数z的共轭复数为z。

【口答】说出下列复数的共轭复数. (1) 2-3i (2) -6i (3) 3 (4) 2i-1

思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)z1z2是怎样的一个数?

四、复数的除法法则：

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.我们把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，

记为：(a+bi)(c+di)或者①

利用复数相等

设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. abi

cdicxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22cd解这个方程组，得

bcady.22cd于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2 i. 222cdcd第

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②

分母实数化

利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2i. 222cdcd例4 计算

(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

22(34i)(34i)342555【小结】：1、先写成分式形式；

2、把分子与分母都乘以分母的共轭复数；

3、化简后写成代数形式.

【课堂练习】：课本P60 第3题

课堂小结：

1、复数的乘法法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与共轭复数之间有什么性质？

3、复数的除法法则是什么？

作业布置：

课本P61 习题3.2 A组 第1、4、5题.

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教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：abiacbdbcad22i(c+di≠0). 22cdicdcd两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.

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