一 数学归纳法国家获奖教案

数列求和教学设计

一、教学目标

1.知识与技能：掌握倒序相加法和错位相减法及应用。

2.过程与方法：学生通过等差、等比数列的前n次和得出倒序相加法和错位相减法。

3.情感态度与价值观：进一步提高学生的运算、思维能力，体会类比的作用，学会知识迁移。

二、教学重难点

重点：倒序相加法和错位相减法及其应用。

难点：错位相减法及其应用。

三、学法指导：教师引导学生借助等差数列和等比数列的前n项和的求解过程得到倒序相加法和错位相减法。

四、教学过程

（一）复习回顾

复习（1）：等差数列的前n次和推导过程。

（2）：等比数列的前n次和推导过程。

师生互动：教师提问，结合学生课堂回答情况，适当引导，结合课件给出答案，教师适当补充。

（二）研讨新知

问题一：等差数列的前n次和是怎样求出来的？

师生互动：教师引导学生共同归纳得出：第一步，先把Sn倒序。第二步，进行求和得出结论。

问题2：等比数列的前n项和是怎样求出来的？

师生互动：教师引导学生共同得出：第一步，在Sn等式的左右两边同时乘以公比q

；第二步，错位相减，化简得出答案。

问题3：等比数列an的通用公式ana1qn1,nN* 能否看作两个数列的乘积？

师生互动：教师引导学生得出an

可看作bn和cn的乘积，且可令bna1(a10),cnqn1,nN*。

问题4：bn可以认为是什么数列？

师生互动：学生可能回答是等差数列，也可能是等比数列，教师引导学生过度到bn是非零等差数列上来。

问题5：任何一个可拆成一个非零等差数列乘以等比数列的数列是否都可用错位相减法进行求和？

师生活动：利用特殊数列进行讲解。

（三）讲授例题

例1：已知函数f(x)（1）计算1(x1)

x1111f(2)f()，f(3)f()，f(4)f()

243（2）由上面结果，你能得出什么结论？能证明吗？

（3）计算f(2)111f(3)f(10)f()f()f()

2310师生互动，教师引导学生解答，并转化到倒序相加法上

例2：求Sn13332(2n1)3n

师生互动：教师牵头，让学生回忆等比数列前n项和的推导过程。

得到如下关键点：

1.数列的通项公式是an(2n1)3n,nN*

2.能否拆成一个非零等差数列乘以一个等比数列的乘积

3.等式两边同时乘以公比3 4.错位相减并化简得出结果

例3：已知an是以首项为a1，公差为d（非零）等差数列，bn是以首项为b1，公比为q(q1)的等比数列，求Sna1b1a2b2anbn。

师生活动：让学生体会由特殊到一般的过程，得出一般性结论，在这过程中留意学生作答、提问，最后进行总结。

（四）课堂练习

课堂练习1：104xf(x),xR

24x51010求f(0)f(1)f(1)f(3)f(9)f(1) 课堂练习2：已知数列an的通项公式为an的前n项和sn。

（五）课堂小结

（1）．倒序相加法（对偶原理）对于一个求和,用倒序相加（对偶原理）法来解决求和是比较容易，但如何使用这种方法才是真正的难点，通常情况下不容易把哪些相加为定值的量找出来，因此最重要的方法就是构造定值. （2）．错位相减法

1、什么数列可以用错位相减法来求和？

n12n1,nN*，求an

通项公式是“等差（非零）×等比”型的数列

2、错位相减法的步骤是什么？

①展开：将Sn展开

②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比q ③错位：让等比数列公比q次数相同的相对齐

④相减

⑤解出Sn （六）布置作业：练习册1.2题